Sr Examen

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Integral de sqrt((4x-y^2)/2) dy

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                   
  /                   
 |                    
 |       __________   
 |      /        2    
 |     /  4*x - y     
 |    /   --------  dy
 |  \/       2        
 |                    
/                     
0                     
$$\int\limits_{0}^{1} \sqrt{\frac{4 x - y^{2}}{2}}\, dy$$
Integral(sqrt((4*x - y^2)/2), (y, 0, 1))
Solución detallada
  1. Vuelva a escribir el integrando:

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

      Pero la integral

    Por lo tanto, el resultado es:

  3. Ahora simplificar:

  4. Añadimos la constante de integración:


Respuesta:

Respuesta (Indefinida) [src]
                                  //                                                                        | 2|    \
                                  ||                                                                        |y |    |
                                  ||                                  ___                   3               |--|    |
                                  ||             /   y   \      I*y*\/ x                 I*y                |x |    |
                                  ||- 2*I*x*acosh|-------| - --------------- + -----------------------  for ---- > 1|
                                  ||             |    ___|        __________                __________       4      |
                                  ||             \2*\/ x /       /        2                /        2               |
                                  ||                            /        y         ___    /        y                |
                              ___ ||                           /   -1 + ---    4*\/ x *  /   -1 + ---               |
                            \/ 2 *|<                         \/         4*x            \/         4*x               |
                                  ||                                                                                |
                                  ||                              ___                  3                            |
                                  ||           /   y   \      y*\/ x                  y                             |
                                  ||   2*x*asin|-------| + -------------- - ----------------------       otherwise  |
  /                               ||           |    ___|        _________                _________                  |
 |                                ||           \2*\/ x /       /       2                /       2                   |
 |      __________                ||                          /       y         ___    /       y                    |
 |     /        2                 ||                         /   1 - ---    4*\/ x *  /   1 - ---                   |
 |    /  4*x - y                  \\                       \/        4*x            \/        4*x                   /
 |   /   --------  dy = C + -----------------------------------------------------------------------------------------
 | \/       2                                                           2                                            
 |                                                                                                                   
/                                                                                                                    
$$\int \sqrt{\frac{4 x - y^{2}}{2}}\, dy = C + \frac{\sqrt{2} \left(\begin{cases} - \frac{i \sqrt{x} y}{\sqrt{-1 + \frac{y^{2}}{4 x}}} - 2 i x \operatorname{acosh}{\left(\frac{y}{2 \sqrt{x}} \right)} + \frac{i y^{3}}{4 \sqrt{x} \sqrt{-1 + \frac{y^{2}}{4 x}}} & \text{for}\: \frac{\left|{\frac{y^{2}}{x}}\right|}{4} > 1 \\\frac{\sqrt{x} y}{\sqrt{1 - \frac{y^{2}}{4 x}}} + 2 x \operatorname{asin}{\left(\frac{y}{2 \sqrt{x}} \right)} - \frac{y^{3}}{4 \sqrt{x} \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{4 x}}} & \text{otherwise} \end{cases}\right)}{2}$$
Respuesta [src]
  1                                                                                                               
  /                                                                                                               
 |                                                                                                                
 |  /       ___   ___              ___  4                  ___  2                    ___  2              2        
 |  |   I*\/ 2 *\/ x           I*\/ 2 *y               I*\/ 2 *y               3*I*\/ 2 *y              y         
 |  |- --------------- - --------------------- + --------------------- + -----------------------  for ----- > 1   
 |  |       __________                     3/2                     3/2                __________      4*|x|       
 |  |      /        2            /       2\              /       2\                  /        2                   
 |  |     /        y         3/2 |      y |          ___ |      y |          ___    /        y                    
 |  |    /   -1 + ---    32*x   *|-1 + ---|      8*\/ x *|-1 + ---|      8*\/ x *  /   -1 + ---                   
 |  |  \/         4*x            \     4*x/              \     4*x/              \/         4*x                   
 |  <                                                                                                           dy
 |  |      ___   ___               ___  2                 ___  4                 ___  2                           
 |  |    \/ 2 *\/ x            3*\/ 2 *y                \/ 2 *y                \/ 2 *y                            
 |  |   -------------- - ---------------------- - -------------------- + --------------------       otherwise     
 |  |        _________                _________                    3/2                    3/2                     
 |  |       /       2                /       2            /      2\              /      2\                        
 |  |      /       y         ___    /       y         3/2 |     y |          ___ |     y |                        
 |  |     /   1 - ---    8*\/ x *  /   1 - ---    32*x   *|1 - ---|      8*\/ x *|1 - ---|                        
 |  \   \/        4*x            \/        4*x            \    4*x/              \    4*x/                        
 |                                                                                                                
/                                                                                                                 
0                                                                                                                 
$$\int\limits_{0}^{1} \begin{cases} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{x}}{\sqrt{-1 + \frac{y^{2}}{4 x}}} + \frac{3 \sqrt{2} i y^{2}}{8 \sqrt{x} \sqrt{-1 + \frac{y^{2}}{4 x}}} + \frac{\sqrt{2} i y^{2}}{8 \sqrt{x} \left(-1 + \frac{y^{2}}{4 x}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{2} i y^{4}}{32 x^{\frac{3}{2}} \left(-1 + \frac{y^{2}}{4 x}\right)^{\frac{3}{2}}} & \text{for}\: \frac{y^{2}}{4 \left|{x}\right|} > 1 \\\frac{\sqrt{2} \sqrt{x}}{\sqrt{1 - \frac{y^{2}}{4 x}}} - \frac{3 \sqrt{2} y^{2}}{8 \sqrt{x} \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{4 x}}} + \frac{\sqrt{2} y^{2}}{8 \sqrt{x} \left(1 - \frac{y^{2}}{4 x}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{2} y^{4}}{32 x^{\frac{3}{2}} \left(1 - \frac{y^{2}}{4 x}\right)^{\frac{3}{2}}} & \text{otherwise} \end{cases}\, dy$$
=
=
  1                                                                                                               
  /                                                                                                               
 |                                                                                                                
 |  /       ___   ___              ___  4                  ___  2                    ___  2              2        
 |  |   I*\/ 2 *\/ x           I*\/ 2 *y               I*\/ 2 *y               3*I*\/ 2 *y              y         
 |  |- --------------- - --------------------- + --------------------- + -----------------------  for ----- > 1   
 |  |       __________                     3/2                     3/2                __________      4*|x|       
 |  |      /        2            /       2\              /       2\                  /        2                   
 |  |     /        y         3/2 |      y |          ___ |      y |          ___    /        y                    
 |  |    /   -1 + ---    32*x   *|-1 + ---|      8*\/ x *|-1 + ---|      8*\/ x *  /   -1 + ---                   
 |  |  \/         4*x            \     4*x/              \     4*x/              \/         4*x                   
 |  <                                                                                                           dy
 |  |      ___   ___               ___  2                 ___  4                 ___  2                           
 |  |    \/ 2 *\/ x            3*\/ 2 *y                \/ 2 *y                \/ 2 *y                            
 |  |   -------------- - ---------------------- - -------------------- + --------------------       otherwise     
 |  |        _________                _________                    3/2                    3/2                     
 |  |       /       2                /       2            /      2\              /      2\                        
 |  |      /       y         ___    /       y         3/2 |     y |          ___ |     y |                        
 |  |     /   1 - ---    8*\/ x *  /   1 - ---    32*x   *|1 - ---|      8*\/ x *|1 - ---|                        
 |  \   \/        4*x            \/        4*x            \    4*x/              \    4*x/                        
 |                                                                                                                
/                                                                                                                 
0                                                                                                                 
$$\int\limits_{0}^{1} \begin{cases} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{x}}{\sqrt{-1 + \frac{y^{2}}{4 x}}} + \frac{3 \sqrt{2} i y^{2}}{8 \sqrt{x} \sqrt{-1 + \frac{y^{2}}{4 x}}} + \frac{\sqrt{2} i y^{2}}{8 \sqrt{x} \left(-1 + \frac{y^{2}}{4 x}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{2} i y^{4}}{32 x^{\frac{3}{2}} \left(-1 + \frac{y^{2}}{4 x}\right)^{\frac{3}{2}}} & \text{for}\: \frac{y^{2}}{4 \left|{x}\right|} > 1 \\\frac{\sqrt{2} \sqrt{x}}{\sqrt{1 - \frac{y^{2}}{4 x}}} - \frac{3 \sqrt{2} y^{2}}{8 \sqrt{x} \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{4 x}}} + \frac{\sqrt{2} y^{2}}{8 \sqrt{x} \left(1 - \frac{y^{2}}{4 x}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{2} y^{4}}{32 x^{\frac{3}{2}} \left(1 - \frac{y^{2}}{4 x}\right)^{\frac{3}{2}}} & \text{otherwise} \end{cases}\, dy$$
Integral(Piecewise((-i*sqrt(2)*sqrt(x)/sqrt(-1 + y^2/(4*x)) - i*sqrt(2)*y^4/(32*x^(3/2)*(-1 + y^2/(4*x))^(3/2)) + i*sqrt(2)*y^2/(8*sqrt(x)*(-1 + y^2/(4*x))^(3/2)) + 3*i*sqrt(2)*y^2/(8*sqrt(x)*sqrt(-1 + y^2/(4*x))), y^2/(4*|x|) > 1), (sqrt(2)*sqrt(x)/sqrt(1 - y^2/(4*x)) - 3*sqrt(2)*y^2/(8*sqrt(x)*sqrt(1 - y^2/(4*x))) - sqrt(2)*y^4/(32*x^(3/2)*(1 - y^2/(4*x))^(3/2)) + sqrt(2)*y^2/(8*sqrt(x)*(1 - y^2/(4*x))^(3/2)), True)), (y, 0, 1))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.