Integral de (2x^2*dx)/(8x^3-7) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 8 x^{3} - 7$.

      Luego que $du = 24 x^{2} dx$ y ponemos $\frac{du}{12}$:

      $\int \frac{1}{12 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{12}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{12}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(8 x^{3} - 7 \right)}}{12}$

   Método #2

   1. que $u = x^{3}$.

      Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $2 du$:

      $\int \frac{2}{24 u - 21}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{24 u - 21}\, du = 2 \int \frac{1}{24 u - 21}\, du$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = 24 u - 21$.

               Luego que $du = 24 du$ y ponemos $\frac{du}{24}$:

               $\int \frac{1}{24 u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{24}$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{24}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\log{\left(24 u - 21 \right)}}{24}$

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{1}{24 u - 21} = \frac{1}{3 \left(8 u - 7\right)}$

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{3 \left(8 u - 7\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{8 u - 7}\, du}{3}$

               1. que $u = 8 u - 7$.

                  Luego que $du = 8 du$ y ponemos $\frac{du}{8}$:

                  $\int \frac{1}{8 u}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{8}$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{8}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\log{\left(8 u - 7 \right)}}{8}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(8 u - 7 \right)}}{24}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(24 u - 21 \right)}}{12}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(24 x^{3} - 21 \right)}}{12}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\log{\left(8 x^{3} - 7 \right)}}{12}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(8 x^{3} - 7 \right)}}{12}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(8 x^{3} - 7 \right)}}{12}+ \mathrm{constant}$