Integral de x^2/(sqrt(2x+4)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{2 x + 4}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{\sqrt{2 x + 4}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{u^{2}}{2} - 2\right)^{2}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(\frac{u^{2}}{2} - 2\right)^{2} = \frac{u^{4}}{4} - 2 u^{2} + 4$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{4}}{4}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{4}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{5}}{20}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2 u^{2}\right)\, du = - 2 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{3}}{3}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 4\, du = 4 u$

         El resultado es: $\frac{u^{5}}{20} - \frac{2 u^{3}}{3} + 4 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(2 x + 4\right)^{\frac{5}{2}}}{20} - \frac{2 \left(2 x + 4\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + 4 \sqrt{2 x + 4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2}}{\sqrt{2 x + 4}} = \frac{\sqrt{2} x^{2}}{2 \sqrt{x + 2}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\sqrt{2} x^{2}}{2 \sqrt{x + 2}}\, dx = \frac{\sqrt{2} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x + 2}}\, dx}{2}$

      1. que $u = \frac{1}{\sqrt{x + 2}}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{2 \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $du$:

         $\int \left(- 2 \left(-2 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{3} - 4 \left(-2 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{2}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 2 \left(-2 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{3}\right)\, du = - 2 \int \left(-2 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{3}\, du$

               1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

                  Método #1

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\left(-2 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{3} = -8 + \frac{12}{u^{2}} - \frac{6}{u^{4}} + \frac{1}{u^{6}}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int \left(-8\right)\, du = - 8 u$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{12}{u^{2}}\, du = 12 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{12}{u}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- \frac{6}{u^{4}}\right)\, du = - 6 \int \frac{1}{u^{4}}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{u^{3}}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}$

                     El resultado es: $- 8 u - \frac{12}{u} + \frac{2}{u^{3}} - \frac{1}{5 u^{5}}$

                  Método #2

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\left(-2 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{3} = - \frac{8 u^{6} - 12 u^{4} + 6 u^{2} - 1}{u^{6}}$

                  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{8 u^{6} - 12 u^{4} + 6 u^{2} - 1}{u^{6}}\right)\, du = - \int \frac{8 u^{6} - 12 u^{4} + 6 u^{2} - 1}{u^{6}}\, du$

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\frac{8 u^{6} - 12 u^{4} + 6 u^{2} - 1}{u^{6}} = 8 - \frac{12}{u^{2}} + \frac{6}{u^{4}} - \frac{1}{u^{6}}$

                     2. Integramos término a término:

                        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int 8\, du = 8 u$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \left(- \frac{12}{u^{2}}\right)\, du = - 12 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{12}{u}$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \frac{6}{u^{4}}\, du = 6 \int \frac{1}{u^{4}}\, du$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{u^{3}}$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \left(- \frac{1}{u^{6}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{6}}\, du$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{5 u^{5}}$

                        El resultado es: $8 u + \frac{12}{u} - \frac{2}{u^{3}} + \frac{1}{5 u^{5}}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- 8 u - \frac{12}{u} + \frac{2}{u^{3}} - \frac{1}{5 u^{5}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $16 u + \frac{24}{u} - \frac{4}{u^{3}} + \frac{2}{5 u^{5}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 4 \left(-2 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{2}\right)\, du = - 4 \int \left(-2 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{2}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\left(-2 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{2} = 4 - \frac{4}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 4\, du = 4 u$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{4}{u^{2}}\right)\, du = - 4 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4}{u}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                  El resultado es: $4 u + \frac{4}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 16 u - \frac{16}{u} + \frac{4}{3 u^{3}}$

            El resultado es: $\frac{8}{u} - \frac{8}{3 u^{3}} + \frac{2}{5 u^{5}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 \left(x + 2\right)^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{8 \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + 8 \sqrt{x + 2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{2} \left(\frac{2 \left(x + 2\right)^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{8 \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + 8 \sqrt{x + 2}\right)}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\sqrt{2 x + 4} \left(\frac{x^{2}}{5} - \frac{8 x}{15} + \frac{32}{15}\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\sqrt{2 x + 4} \left(\frac{x^{2}}{5} - \frac{8 x}{15} + \frac{32}{15}\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\sqrt{2 x + 4} \left(\frac{x^{2}}{5} - \frac{8 x}{15} + \frac{32}{15}\right)+ \mathrm{constant}$