Sr Examen

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Integral de (ln^4)(3x+1)/(3x+1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                     
  /                     
 |                      
 |     4                
 |  log (x)*(3*x + 1)   
 |  ----------------- dx
 |       3*x + 1        
 |                      
/                       
0                       
01(3x+1)log(x)43x+1dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\left(3 x + 1\right) \log{\left(x \right)}^{4}}{3 x + 1}\, dx
Integral((log(x)^4*(3*x + 1))/(3*x + 1), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. que u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

    Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

    u4eudu\int u^{4} e^{u}\, du

    1. Usamos la integración por partes:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(u)=u4u{\left(u \right)} = u^{4} y que dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

      Entonces du(u)=4u3\operatorname{du}{\left(u \right)} = 4 u^{3}.

      Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

        eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Usamos la integración por partes:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(u)=4u3u{\left(u \right)} = 4 u^{3} y que dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

      Entonces du(u)=12u2\operatorname{du}{\left(u \right)} = 12 u^{2}.

      Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

        eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. Usamos la integración por partes:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(u)=12u2u{\left(u \right)} = 12 u^{2} y que dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

      Entonces du(u)=24u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 24 u.

      Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

        eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

      Ahora resolvemos podintegral.

    4. Usamos la integración por partes:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(u)=24uu{\left(u \right)} = 24 u y que dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

      Entonces du(u)=24\operatorname{du}{\left(u \right)} = 24.

      Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

        eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

      Ahora resolvemos podintegral.

    5. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      24eudu=24eudu\int 24 e^{u}\, du = 24 \int e^{u}\, du

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

        eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

      Por lo tanto, el resultado es: 24eu24 e^{u}

    Si ahora sustituir uu más en:

    xlog(x)44xlog(x)3+12xlog(x)224xlog(x)+24xx \log{\left(x \right)}^{4} - 4 x \log{\left(x \right)}^{3} + 12 x \log{\left(x \right)}^{2} - 24 x \log{\left(x \right)} + 24 x

  2. Ahora simplificar:

    x(log(x)44log(x)3+12log(x)224log(x)+24)x \left(\log{\left(x \right)}^{4} - 4 \log{\left(x \right)}^{3} + 12 \log{\left(x \right)}^{2} - 24 \log{\left(x \right)} + 24\right)

  3. Añadimos la constante de integración:

    x(log(x)44log(x)3+12log(x)224log(x)+24)+constantx \left(\log{\left(x \right)}^{4} - 4 \log{\left(x \right)}^{3} + 12 \log{\left(x \right)}^{2} - 24 \log{\left(x \right)} + 24\right)+ \mathrm{constant}


Respuesta:

x(log(x)44log(x)3+12log(x)224log(x)+24)+constantx \left(\log{\left(x \right)}^{4} - 4 \log{\left(x \right)}^{3} + 12 \log{\left(x \right)}^{2} - 24 \log{\left(x \right)} + 24\right)+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                                                      
 |                                                                                       
 |    4                                                                                  
 | log (x)*(3*x + 1)                      4                           3              2   
 | ----------------- dx = C + 24*x + x*log (x) - 24*x*log(x) - 4*x*log (x) + 12*x*log (x)
 |      3*x + 1                                                                          
 |                                                                                       
/                                                                                        
(3x+1)log(x)43x+1dx=C+xlog(x)44xlog(x)3+12xlog(x)224xlog(x)+24x\int \frac{\left(3 x + 1\right) \log{\left(x \right)}^{4}}{3 x + 1}\, dx = C + x \log{\left(x \right)}^{4} - 4 x \log{\left(x \right)}^{3} + 12 x \log{\left(x \right)}^{2} - 24 x \log{\left(x \right)} + 24 x
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90010000
Respuesta [src]
24
2424
=
=
24
2424
24
Respuesta numérica [src]
23.9999999999997
23.9999999999997

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.