Integral de 3^(2*x)+e^(5*x) dx

1. Integramos término a término:

   1. que $u = 2 x$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{3^{u}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3^{u}\, du = \frac{\int 3^{u}\, du}{2}$

         1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

            $\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left(3 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3^{u}}{2 \log{\left(3 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{3^{2 x}}{2 \log{\left(3 \right)}}$

   1. que $u = 5 x$.

      Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

      $\int \frac{e^{u}}{5}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{5}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{e^{5 x}}{5}$

   El resultado es: $\frac{3^{2 x}}{2 \log{\left(3 \right)}} + \frac{e^{5 x}}{5}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\frac{9^{x}}{2} + \frac{e^{5 x} \log{\left(9 \right)}}{10}}{\log{\left(3 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\frac{9^{x}}{2} + \frac{e^{5 x} \log{\left(9 \right)}}{10}}{\log{\left(3 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\frac{9^{x}}{2} + \frac{e^{5 x} \log{\left(9 \right)}}{10}}{\log{\left(3 \right)}}+ \mathrm{constant}$