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Resolución de integrales/ (1-3x)/ (5x+1)sin(1-3x)

Integral de (5x+1)sin(1-3x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                          
  /                          
 |                           
 |  (5*x + 1)*sin(1 - 3*x) dx
 |                           
/                            
0
∫01(5x+1)sin⁡(1−3x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(5 x + 1\right) \sin{\left(1 - 3 x \right)}\, dx 
Integral((5*x + 1)*sin(1 - 3*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (5x+1)sin⁡(1−3x)=5xsin⁡(1−3x)+sin⁡(1−3x)\left(5 x + 1\right) \sin{\left(1 - 3 x \right)} = 5 x \sin{\left(1 - 3 x \right)} + \sin{\left(1 - 3 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5xsin⁡(1−3x) dx=5∫xsin⁡(1−3x) dx\int 5 x \sin{\left(1 - 3 x \right)}\, dx = 5 \int x \sin{\left(1 - 3 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(1−3x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(1 - 3 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−sin⁡(3x−1)) dx=−∫sin⁡(3x−1) dx\int \left(- \sin{\left(3 x - 1 \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(3 x - 1 \right)}\, dx

            1. que u=3x−1u = 3 x - 1.

              Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

              ∫sin⁡(u)3 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

                1. La integral del seno es un coseno menos:

                  ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡(3x−1)3- \frac{\cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: cos⁡(3x−1)3\frac{\cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(3x−1)3 dx=∫cos⁡(3x−1) dx3\int \frac{\cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3}\, dx = \frac{\int \cos{\left(3 x - 1 \right)}\, dx}{3}

          1. que u=3x−1u = 3 x - 1.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(3x−1)3\frac{\sin{\left(3 x - 1 \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(3x−1)9\frac{\sin{\left(3 x - 1 \right)}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: 5xcos⁡(3x−1)3−5sin⁡(3x−1)9\frac{5 x \cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3} - \frac{5 \sin{\left(3 x - 1 \right)}}{9}

      1. que u=1−3xu = 1 - 3 x.

        Luego que du=−3dxdu = - 3 dx y ponemos −du3- \frac{du}{3}:

        ∫(−sin⁡(u)3) du\int \left(- \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=−∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: cos⁡(u)3\frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        cos⁡(3x−1)3\frac{\cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3}

      El resultado es: 5xcos⁡(3x−1)3−5sin⁡(3x−1)9+cos⁡(3x−1)3\frac{5 x \cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3} - \frac{5 \sin{\left(3 x - 1 \right)}}{9} + \frac{\cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=5x+1u{\left(x \right)} = 5 x + 1 y que dv⁡(x)=sin⁡(1−3x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(1 - 3 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=5\operatorname{du}{\left(x \right)} = 5.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡(3x−1)) dx=−∫sin⁡(3x−1) dx\int \left(- \sin{\left(3 x - 1 \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(3 x - 1 \right)}\, dx

        1. que u=3x−1u = 3 x - 1.

          Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

          ∫sin⁡(u)3 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(3x−1)3- \frac{\cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: cos⁡(3x−1)3\frac{\cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫5cos⁡(3x−1)3 dx=5∫cos⁡(3x−1) dx3\int \frac{5 \cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3}\, dx = \frac{5 \int \cos{\left(3 x - 1 \right)}\, dx}{3}

      1. que u=3x−1u = 3 x - 1.

        Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

        ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(3x−1)3\frac{\sin{\left(3 x - 1 \right)}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: 5sin⁡(3x−1)9\frac{5 \sin{\left(3 x - 1 \right)}}{9}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (5x+1)sin⁡(1−3x)=5xsin⁡(1−3x)+sin⁡(1−3x)\left(5 x + 1\right) \sin{\left(1 - 3 x \right)} = 5 x \sin{\left(1 - 3 x \right)} + \sin{\left(1 - 3 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5xsin⁡(1−3x) dx=5∫xsin⁡(1−3x) dx\int 5 x \sin{\left(1 - 3 x \right)}\, dx = 5 \int x \sin{\left(1 - 3 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(1−3x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(1 - 3 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−sin⁡(3x−1)) dx=−∫sin⁡(3x−1) dx\int \left(- \sin{\left(3 x - 1 \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(3 x - 1 \right)}\, dx

            1. que u=3x−1u = 3 x - 1.

              Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

              ∫sin⁡(u)3 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

                1. La integral del seno es un coseno menos:

                  ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡(3x−1)3- \frac{\cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: cos⁡(3x−1)3\frac{\cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(3x−1)3 dx=∫cos⁡(3x−1) dx3\int \frac{\cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3}\, dx = \frac{\int \cos{\left(3 x - 1 \right)}\, dx}{3}

          1. que u=3x−1u = 3 x - 1.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(3x−1)3\frac{\sin{\left(3 x - 1 \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(3x−1)9\frac{\sin{\left(3 x - 1 \right)}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: 5xcos⁡(3x−1)3−5sin⁡(3x−1)9\frac{5 x \cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3} - \frac{5 \sin{\left(3 x - 1 \right)}}{9}

      1. que u=1−3xu = 1 - 3 x.

        Luego que du=−3dxdu = - 3 dx y ponemos −du3- \frac{du}{3}:

        ∫(−sin⁡(u)3) du\int \left(- \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=−∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: cos⁡(u)3\frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        cos⁡(3x−1)3\frac{\cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3}

      El resultado es: 5xcos⁡(3x−1)3−5sin⁡(3x−1)9+cos⁡(3x−1)3\frac{5 x \cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3} - \frac{5 \sin{\left(3 x - 1 \right)}}{9} + \frac{\cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3}

  2. Añadimos la constante de integración:

    5xcos⁡(3x−1)3−5sin⁡(3x−1)9+cos⁡(3x−1)3+constant\frac{5 x \cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3} - \frac{5 \sin{\left(3 x - 1 \right)}}{9} + \frac{\cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

5xcos⁡(3x−1)3−5sin⁡(3x−1)9+cos⁡(3x−1)3+constant\frac{5 x \cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3} - \frac{5 \sin{\left(3 x - 1 \right)}}{9} + \frac{\cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                   
 |                                 5*sin(-1 + 3*x)   cos(-1 + 3*x)   5*x*cos(-1 + 3*x)
 | (5*x + 1)*sin(1 - 3*x) dx = C - --------------- + ------------- + -----------------
 |                                        9                3                 3        
/
∫(5x+1)sin⁡(1−3x) dx=C+5xcos⁡(3x−1)3−5sin⁡(3x−1)9+cos⁡(3x−1)3\int \left(5 x + 1\right) \sin{\left(1 - 3 x \right)}\, dx = C + \frac{5 x \cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3} - \frac{5 \sin{\left(3 x - 1 \right)}}{9} + \frac{\cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-10
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
           5*sin(1)   5*sin(2)   cos(1)
2*cos(2) - -------- - -------- - ------
              9          9         3
2cos⁡(2)−5sin⁡(2)9−5sin⁡(1)9−cos⁡(1)32 \cos{\left(2 \right)} - \frac{5 \sin{\left(2 \right)}}{9} - \frac{5 \sin{\left(1 \right)}}{9} - \frac{\cos{\left(1 \right)}}{3} 
=
= 
           5*sin(1)   5*sin(2)   cos(1)
2*cos(2) - -------- - -------- - ------
              9          9         3
2cos⁡(2)−5sin⁡(2)9−5sin⁡(1)9−cos⁡(1)32 \cos{\left(2 \right)} - \frac{5 \sin{\left(2 \right)}}{9} - \frac{5 \sin{\left(1 \right)}}{9} - \frac{\cos{\left(1 \right)}}{3} 
2*cos(2) - 5*sin(1)/9 - 5*sin(2)/9 - cos(1)/3
Respuesta numérica [src] 
-1.98504355929121
-1.98504355929121

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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