Integral de (5x+1)sin(1-3x) dx

Solución

Ha introducido [src]

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 |  (5*x + 1)*sin(1 - 3*x) dx
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0

$$\int\limits_{0}^{1} \left(5 x + 1\right) \sin{\left(1 - 3 x \right)}\, dx$$

Integral((5*x + 1)*sin(1 - 3*x), (x, 0, 1))

Solución detallada

Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(5 x + 1\right) \sin{\left(1 - 3 x \right)} = 5 x \sin{\left(1 - 3 x \right)} + \sin{\left(1 - 3 x \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int 5 x \sin{\left(1 - 3 x \right)}\, dx = 5 \int x \sin{\left(1 - 3 x \right)}\, dx$
    1. Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(1 - 3 x \right)}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .
      
      Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \sin{\left(3 x - 1 \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(3 x - 1 \right)}\, dx$
      
      que $u = 3 x - 1$ .
      
      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3}\, dx = \frac{\int \cos{\left(3 x - 1 \right)}\, dx}{3}$
      
      que $u = 3 x - 1$ .
      
      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(3 x - 1 \right)}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(3 x - 1 \right)}}{9}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x \cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3} - \frac{5 \sin{\left(3 x - 1 \right)}}{9}$
  1. que $u = 1 - 3 x$ .
    
    Luego que $du = - 3 dx$ y ponemos $- \frac{du}{3}$ :
    
    $\int \left(- \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\right)\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\frac{\cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3}$
  El resultado es: $\frac{5 x \cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3} - \frac{5 \sin{\left(3 x - 1 \right)}}{9} + \frac{\cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3}$
Método #2
1. Usamos la integración por partes:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  que $u{\left(x \right)} = 5 x + 1$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(1 - 3 x \right)}$ .
  
  Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 5$ .
  
  Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \sin{\left(3 x - 1 \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(3 x - 1 \right)}\, dx$
    1. que $u = 3 x - 1$ .
      
      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3}$
  Ahora resolvemos podintegral.
2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int \frac{5 \cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3}\, dx = \frac{5 \int \cos{\left(3 x - 1 \right)}\, dx}{3}$
  1. que $u = 3 x - 1$ .
    
    Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$ :
    
    $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\frac{\sin{\left(3 x - 1 \right)}}{3}$
  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 \sin{\left(3 x - 1 \right)}}{9}$
Método #3
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(5 x + 1\right) \sin{\left(1 - 3 x \right)} = 5 x \sin{\left(1 - 3 x \right)} + \sin{\left(1 - 3 x \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int 5 x \sin{\left(1 - 3 x \right)}\, dx = 5 \int x \sin{\left(1 - 3 x \right)}\, dx$
    1. Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(1 - 3 x \right)}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .
      
      Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \sin{\left(3 x - 1 \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(3 x - 1 \right)}\, dx$
      
      que $u = 3 x - 1$ .
      
      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3}\, dx = \frac{\int \cos{\left(3 x - 1 \right)}\, dx}{3}$
      
      que $u = 3 x - 1$ .
      
      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(3 x - 1 \right)}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(3 x - 1 \right)}}{9}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x \cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3} - \frac{5 \sin{\left(3 x - 1 \right)}}{9}$
  1. que $u = 1 - 3 x$ .
    
    Luego que $du = - 3 dx$ y ponemos $- \frac{du}{3}$ :
    
    $\int \left(- \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\right)\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\frac{\cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3}$
  El resultado es: $\frac{5 x \cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3} - \frac{5 \sin{\left(3 x - 1 \right)}}{9} + \frac{\cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{5 x \cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3} - \frac{5 \sin{\left(3 x - 1 \right)}}{9} + \frac{\cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{5 x \cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3} - \frac{5 \sin{\left(3 x - 1 \right)}}{9} + \frac{\cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                                                   
 |                                 5*sin(-1 + 3*x)   cos(-1 + 3*x)   5*x*cos(-1 + 3*x)
 | (5*x + 1)*sin(1 - 3*x) dx = C - --------------- + ------------- + -----------------
 |                                        9                3                 3        
/

$$\int \left(5 x + 1\right) \sin{\left(1 - 3 x \right)}\, dx = C + \frac{5 x \cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3} - \frac{5 \sin{\left(3 x - 1 \right)}}{9} + \frac{\cos{\left(3 x - 1 \right)}}{3}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

           5*sin(1)   5*sin(2)   cos(1)
2*cos(2) - -------- - -------- - ------
              9          9         3

$$2 \cos{\left(2 \right)} - \frac{5 \sin{\left(2 \right)}}{9} - \frac{5 \sin{\left(1 \right)}}{9} - \frac{\cos{\left(1 \right)}}{3}$$

           5*sin(1)   5*sin(2)   cos(1)
2*cos(2) - -------- - -------- - ------
              9          9         3

$$2 \cos{\left(2 \right)} - \frac{5 \sin{\left(2 \right)}}{9} - \frac{5 \sin{\left(1 \right)}}{9} - \frac{\cos{\left(1 \right)}}{3}$$

2*cos(2) - 5*sin(1)/9 - 5*sin(2)/9 - cos(1)/3

Respuesta numérica [src]

-1.98504355929121

-1.98504355929121

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Integral de (5x+1)sin(1-3x) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3