Integral de (x+4)/(x^a) dx
Solución
Solución detallada
Vuelva a escribir el integrando:
x + 4 x a = x x − a + 4 x − a \frac{x + 4}{x^{a}} = x x^{- a} + 4 x^{- a} x a x + 4 = x x − a + 4 x − a
Integramos término a término:
No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
Pero la integral
{ − x 2 a x a − 2 x a for a ≠ 2 log ( x ) otherwese \begin{cases} - \frac{x^{2}}{a x^{a} - 2 x^{a}} & \text{for}\: a \neq 2 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwese} \end{cases} { − a x a − 2 x a x 2 log ( x ) for a = 2 otherwese
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ 4 x − a d x = 4 ∫ x − a d x \int 4 x^{- a}\, dx = 4 \int x^{- a}\, dx ∫ 4 x − a d x = 4 ∫ x − a d x
Integral x n x^{n} x n x n + 1 n + 1 \frac{x^{n + 1}}{n + 1} n + 1 x n + 1 n ≠ − 1 n \neq -1 n = − 1
∫ x − a d x = { x 1 − a 1 − a for a ≠ 1 log ( x ) otherwese \int x^{- a}\, dx = \begin{cases} \frac{x^{1 - a}}{1 - a} & \text{for}\: a \neq 1 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwese} \end{cases} ∫ x − a d x = { 1 − a x 1 − a log ( x ) for a = 1 otherwese
Por lo tanto, el resultado es: 4 ( { x 1 − a 1 − a for a ≠ 1 log ( x ) otherwese ) 4 \left(\begin{cases} \frac{x^{1 - a}}{1 - a} & \text{for}\: a \neq 1 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwese} \end{cases}\right) 4 ( { 1 − a x 1 − a log ( x ) for a = 1 otherwese )
El resultado es: { − x 2 a x a − 2 x a for a ≠ 2 log ( x ) otherwese + 4 ( { x 1 − a 1 − a for a ≠ 1 log ( x ) otherwese ) \begin{cases} - \frac{x^{2}}{a x^{a} - 2 x^{a}} & \text{for}\: a \neq 2 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwese} \end{cases} + 4 \left(\begin{cases} \frac{x^{1 - a}}{1 - a} & \text{for}\: a \neq 1 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwese} \end{cases}\right) { − a x a − 2 x a x 2 log ( x ) for a = 2 otherwese + 4 ( { 1 − a x 1 − a log ( x ) for a = 1 otherwese )
Ahora simplificar:
{ 4 x 1 − a ( 2 − a ) + x 2 − a ( 1 − a ) ( a − 2 ) ( a − 1 ) for ( a > 1 ∧ a < 2 ) ∨ a > 2 ∨ a < 1 − 4 x 1 − a + ( a − 1 ) log ( x ) a − 1 for a ≠ 1 − x 2 − a + 4 ( a − 2 ) log ( x ) a − 2 for a ≠ 2 5 log ( x ) otherwese \begin{cases} \frac{4 x^{1 - a} \left(2 - a\right) + x^{2 - a} \left(1 - a\right)}{\left(a - 2\right) \left(a - 1\right)} & \text{for}\: \left(a > 1 \wedge a < 2\right) \vee a > 2 \vee a < 1 \\\frac{- 4 x^{1 - a} + \left(a - 1\right) \log{\left(x \right)}}{a - 1} & \text{for}\: a \neq 1 \\\frac{- x^{2 - a} + 4 \left(a - 2\right) \log{\left(x \right)}}{a - 2} & \text{for}\: a \neq 2 \\5 \log{\left(x \right)} & \text{otherwese} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ ( a − 2 ) ( a − 1 ) 4 x 1 − a ( 2 − a ) + x 2 − a ( 1 − a ) a − 1 − 4 x 1 − a + ( a − 1 ) l o g ( x ) a − 2 − x 2 − a + 4 ( a − 2 ) l o g ( x ) 5 log ( x ) for ( a > 1 ∧ a < 2 ) ∨ a > 2 ∨ a < 1 for a = 1 for a = 2 otherwese
Añadimos la constante de integración:
{ 4 x 1 − a ( 2 − a ) + x 2 − a ( 1 − a ) ( a − 2 ) ( a − 1 ) for ( a > 1 ∧ a < 2 ) ∨ a > 2 ∨ a < 1 − 4 x 1 − a + ( a − 1 ) log ( x ) a − 1 for a ≠ 1 − x 2 − a + 4 ( a − 2 ) log ( x ) a − 2 for a ≠ 2 5 log ( x ) otherwese + c o n s t a n t \begin{cases} \frac{4 x^{1 - a} \left(2 - a\right) + x^{2 - a} \left(1 - a\right)}{\left(a - 2\right) \left(a - 1\right)} & \text{for}\: \left(a > 1 \wedge a < 2\right) \vee a > 2 \vee a < 1 \\\frac{- 4 x^{1 - a} + \left(a - 1\right) \log{\left(x \right)}}{a - 1} & \text{for}\: a \neq 1 \\\frac{- x^{2 - a} + 4 \left(a - 2\right) \log{\left(x \right)}}{a - 2} & \text{for}\: a \neq 2 \\5 \log{\left(x \right)} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant} ⎩ ⎨ ⎧ ( a − 2 ) ( a − 1 ) 4 x 1 − a ( 2 − a ) + x 2 − a ( 1 − a ) a − 1 − 4 x 1 − a + ( a − 1 ) l o g ( x ) a − 2 − x 2 − a + 4 ( a − 2 ) l o g ( x ) 5 log ( x ) for ( a > 1 ∧ a < 2 ) ∨ a > 2 ∨ a < 1 for a = 1 for a = 2 otherwese + constant
Respuesta:
{ 4 x 1 − a ( 2 − a ) + x 2 − a ( 1 − a ) ( a − 2 ) ( a − 1 ) for ( a > 1 ∧ a < 2 ) ∨ a > 2 ∨ a < 1 − 4 x 1 − a + ( a − 1 ) log ( x ) a − 1 for a ≠ 1 − x 2 − a + 4 ( a − 2 ) log ( x ) a − 2 for a ≠ 2 5 log ( x ) otherwese + c o n s t a n t \begin{cases} \frac{4 x^{1 - a} \left(2 - a\right) + x^{2 - a} \left(1 - a\right)}{\left(a - 2\right) \left(a - 1\right)} & \text{for}\: \left(a > 1 \wedge a < 2\right) \vee a > 2 \vee a < 1 \\\frac{- 4 x^{1 - a} + \left(a - 1\right) \log{\left(x \right)}}{a - 1} & \text{for}\: a \neq 1 \\\frac{- x^{2 - a} + 4 \left(a - 2\right) \log{\left(x \right)}}{a - 2} & \text{for}\: a \neq 2 \\5 \log{\left(x \right)} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant} ⎩ ⎨ ⎧ ( a − 2 ) ( a − 1 ) 4 x 1 − a ( 2 − a ) + x 2 − a ( 1 − a ) a − 1 − 4 x 1 − a + ( a − 1 ) l o g ( x ) a − 2 − x 2 − a + 4 ( a − 2 ) l o g ( x ) 5 log ( x ) for ( a > 1 ∧ a < 2 ) ∨ a > 2 ∨ a < 1 for a = 1 for a = 2 otherwese + constant
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ // 1 - a \ // 2 \
| ||x | || -x |
| x + 4 ||------ for a != 1| ||------------- for a != 2|
| ----- dx = C + 4*|<1 - a | + |< a a |
| a || | ||- 2*x + a*x |
| x ||log(x) otherwise | || |
| \\ / \\ log(x) otherwise /
/
∫ x + 4 x a d x = C + { − x 2 a x a − 2 x a for a ≠ 2 log ( x ) otherwise + 4 ( { x 1 − a 1 − a for a ≠ 1 log ( x ) otherwise ) \int \frac{x + 4}{x^{a}}\, dx = C + \begin{cases} - \frac{x^{2}}{a x^{a} - 2 x^{a}} & \text{for}\: a \neq 2 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwise} \end{cases} + 4 \left(\begin{cases} \frac{x^{1 - a}}{1 - a} & \text{for}\: a \neq 1 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwise} \end{cases}\right) ∫ x a x + 4 d x = C + { − a x a − 2 x a x 2 log ( x ) for a = 2 otherwise + 4 ( { 1 − a x 1 − a log ( x ) for a = 1 otherwise )
/ oo for Or(a = 1, a = 2)
|
| 33 21*a
<--------------------- - --------------------- otherwise
| a a 2 a a a 2 a
|2*3 + 3 *a - 3*a*3 2*3 + 3 *a - 3*a*3
\
{ ∞ for a = 1 ∨ a = 2 − 21 a 3 a a 2 − 3 ⋅ 3 a a + 2 ⋅ 3 a + 33 3 a a 2 − 3 ⋅ 3 a a + 2 ⋅ 3 a otherwise \begin{cases} \infty & \text{for}\: a = 1 \vee a = 2 \\- \frac{21 a}{3^{a} a^{2} - 3 \cdot 3^{a} a + 2 \cdot 3^{a}} + \frac{33}{3^{a} a^{2} - 3 \cdot 3^{a} a + 2 \cdot 3^{a}} & \text{otherwise} \end{cases} { ∞ − 3 a a 2 − 3 ⋅ 3 a a + 2 ⋅ 3 a 21 a + 3 a a 2 − 3 ⋅ 3 a a + 2 ⋅ 3 a 33 for a = 1 ∨ a = 2 otherwise
=
/ oo for Or(a = 1, a = 2)
|
| 33 21*a
<--------------------- - --------------------- otherwise
| a a 2 a a a 2 a
|2*3 + 3 *a - 3*a*3 2*3 + 3 *a - 3*a*3
\
{ ∞ for a = 1 ∨ a = 2 − 21 a 3 a a 2 − 3 ⋅ 3 a a + 2 ⋅ 3 a + 33 3 a a 2 − 3 ⋅ 3 a a + 2 ⋅ 3 a otherwise \begin{cases} \infty & \text{for}\: a = 1 \vee a = 2 \\- \frac{21 a}{3^{a} a^{2} - 3 \cdot 3^{a} a + 2 \cdot 3^{a}} + \frac{33}{3^{a} a^{2} - 3 \cdot 3^{a} a + 2 \cdot 3^{a}} & \text{otherwise} \end{cases} { ∞ − 3 a a 2 − 3 ⋅ 3 a a + 2 ⋅ 3 a 21 a + 3 a a 2 − 3 ⋅ 3 a a + 2 ⋅ 3 a 33 for a = 1 ∨ a = 2 otherwise
Piecewise((oo, (a = 1)∨(a = 2)), (33/(2*3^a + 3^a*a^2 - 3*a*3^a) - 21*a/(2*3^a + 3^a*a^2 - 3*a*3^a), True))
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.
