Integral de (2+x^2)+(y-2)^2 dy

1. Integramos término a término:

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int \left(x^{2} + 2\right)\, dy = y \left(x^{2} + 2\right)$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = y - 2$.

         Luego que $du = dy$ y ponemos $du$:

         $\int u^{2}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\left(y - 2\right)^{3}}{3}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(y - 2\right)^{2} = y^{2} - 4 y + 4$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int y^{2}\, dy = \frac{y^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 4 y\right)\, dy = - 4 \int y\, dy$

            1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 2 y^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 4\, dy = 4 y$

         El resultado es: $\frac{y^{3}}{3} - 2 y^{2} + 4 y$

   El resultado es: $y \left(x^{2} + 2\right) + \frac{\left(y - 2\right)^{3}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $y \left(x^{2} + 2\right) + \frac{\left(y - 2\right)^{3}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $y \left(x^{2} + 2\right) + \frac{\left(y - 2\right)^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$y \left(x^{2} + 2\right) + \frac{\left(y - 2\right)^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$