Integral de -12tcos2t+3+6sin2t dt

1. Integramos término a término:

   1. Integramos término a término:

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = 2 t$.

            Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $- 3 du$:

            $\int \left(- 3 u \cos{\left(u \right)}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u \cos{\left(u \right)}\, du = - 3 \int u \cos{\left(u \right)}\, du$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. La integral del seno es un coseno menos:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 3 u \sin{\left(u \right)} - 3 \cos{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- 6 t \sin{\left(2 t \right)} - 3 \cos{\left(2 t \right)}$

         Método #2

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(t \right)} = - 12 t$ y que $\operatorname{dv}{\left(t \right)} = \cos{\left(2 t \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(t \right)} = -12$.

            Para buscar $v{\left(t \right)}$:

            1. que $u = 2 t$.

               Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 6 \sin{\left(2 t \right)}\right)\, dt = - 6 \int \sin{\left(2 t \right)}\, dt$

            1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

               Método #1

               1. que $u = 2 t$.

                  Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

                     1. La integral del seno es un coseno menos:

                        $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}$

               Método #2

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 2 \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\, dt = 2 \int \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\, dt$

                  1. que $u = \cos{\left(t \right)}$.

                     Luego que $du = - \sin{\left(t \right)} dt$ y ponemos $- du$:

                     $\int \left(- u\right)\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int u\, du = - \int u\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $- \frac{\cos^{2}{\left(t \right)}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \cos^{2}{\left(t \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $3 \cos{\left(2 t \right)}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 3\, dt = 3 t$

      El resultado es: $- 6 t \sin{\left(2 t \right)} + 3 t - 3 \cos{\left(2 t \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 6 \sin{\left(2 t \right)}\, dt = 6 \int \sin{\left(2 t \right)}\, dt$

      1. que $u = 2 t$.

         Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \cos{\left(2 t \right)}$

   El resultado es: $- 6 t \sin{\left(2 t \right)} + 3 t - 6 \cos{\left(2 t \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- 6 t \sin{\left(2 t \right)} + 3 t - 6 \cos{\left(2 t \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 6 t \sin{\left(2 t \right)} + 3 t - 6 \cos{\left(2 t \right)}+ \mathrm{constant}$