Integral de (2x-6)ln(2x-6) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x - 6$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u \log{\left(u \right)}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u \log{\left(u \right)}\, du = \frac{\int u \log{\left(u \right)}\, du}{2}$

         1. que $u = \log{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = \frac{du}{u}$ y ponemos $du$:

            $\int u e^{2 u}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. que $u = 2 u$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{2 u}}{2}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$

               1. que $u = 2 u$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{2 u}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 u}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{u^{2} \log{\left(u \right)}}{2} - \frac{u^{2}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2} \log{\left(u \right)}}{4} - \frac{u^{2}}{8}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(2 x - 6\right)^{2} \log{\left(2 x - 6 \right)}}{4} - \frac{\left(2 x - 6\right)^{2}}{8}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(2 x - 6\right) \log{\left(2 x - 6 \right)} = 2 x \log{\left(x - 3 \right)} + 2 x \log{\left(2 \right)} - 6 \log{\left(x - 3 \right)} - 6 \log{\left(2 \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x \log{\left(x - 3 \right)}\, dx = 2 \int x \log{\left(x - 3 \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x - 3 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 3}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x^{2}}{2 \left(x - 3\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2}}{x - 3}\, dx}{2}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{x^{2}}{x - 3} = x + 3 + \frac{9}{x - 3}$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 3\, dx = 3 x$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{9}{x - 3}\, dx = 9 \int \frac{1}{x - 3}\, dx$

                  1. que $u = x - 3$.

                     Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                     $\int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(x - 3 \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $9 \log{\left(x - 3 \right)}$

               El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} + 3 x + 9 \log{\left(x - 3 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} + \frac{9 \log{\left(x - 3 \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{2} \log{\left(x - 3 \right)} - \frac{x^{2}}{2} - 3 x - 9 \log{\left(x - 3 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x \log{\left(2 \right)}\, dx = 2 \log{\left(2 \right)} \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{2} \log{\left(2 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 6 \log{\left(x - 3 \right)}\right)\, dx = - 6 \int \log{\left(x - 3 \right)}\, dx$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = x - 3$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \log{\left(u \right)}\, du$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 1\, du = u$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- x + \left(x - 3\right) \log{\left(x - 3 \right)} + 3$

            Método #2

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x - 3 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 3}$.

               Para buscar $v{\left(x \right)}$:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, dx = x$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{x}{x - 3} = 1 + \frac{3}{x - 3}$

            3. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, dx = x$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{3}{x - 3}\, dx = 3 \int \frac{1}{x - 3}\, dx$

                  1. que $u = x - 3$.

                     Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                     $\int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(x - 3 \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $3 \log{\left(x - 3 \right)}$

               El resultado es: $x + 3 \log{\left(x - 3 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $6 x - 6 \left(x - 3\right) \log{\left(x - 3 \right)} - 18$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(- 6 \log{\left(2 \right)}\right)\, dx = - 6 x \log{\left(2 \right)}$

      El resultado es: $x^{2} \log{\left(x - 3 \right)} - \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \log{\left(2 \right)} - 6 x \log{\left(2 \right)} + 3 x - 6 \left(x - 3\right) \log{\left(x - 3 \right)} - 9 \log{\left(x - 3 \right)} - 18$

   Método #3

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(2 x - 6 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 2 x - 6$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{2 x - 6}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $x^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-6\right)\, dx = - 6 x$

         El resultado es: $x^{2} - 6 x$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 \left(x^{2} - 6 x\right)}{2 x - 6}\, dx = 2 \int \frac{x^{2} - 6 x}{2 x - 6}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x^{2} - 6 x}{2 x - 6} = \frac{x}{2} - \frac{3}{2} - \frac{9}{2 \left(x - 3\right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(- \frac{3}{2}\right)\, dx = - \frac{3 x}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{9}{2 \left(x - 3\right)}\right)\, dx = - \frac{9 \int \frac{1}{x - 3}\, dx}{2}$

            1. que $u = x - 3$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x - 3 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{9 \log{\left(x - 3 \right)}}{2}$

         El resultado es: $\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} - \frac{9 \log{\left(x - 3 \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{2} - 3 x - 9 \log{\left(x - 3 \right)}$

   Método #4

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(2 x - 6\right) \log{\left(2 x - 6 \right)} = 2 x \log{\left(2 x - 6 \right)} - 6 \log{\left(2 x - 6 \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x \log{\left(2 x - 6 \right)}\, dx = 2 \int x \log{\left(2 x - 6 \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $x \log{\left(2 x - 6 \right)} = x \log{\left(x - 3 \right)} + x \log{\left(2 \right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x - 3 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 3}$.

               Para buscar $v{\left(x \right)}$:

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{x^{2}}{2 \left(x - 3\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2}}{x - 3}\, dx}{2}$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{x^{2}}{x - 3} = x + 3 + \frac{9}{x - 3}$

               2. Integramos término a término:

                  1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 3\, dx = 3 x$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{9}{x - 3}\, dx = 9 \int \frac{1}{x - 3}\, dx$

                     1. que $u = x - 3$.

                        Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                        $\int \frac{1}{u}\, du$

                        1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\log{\left(x - 3 \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $9 \log{\left(x - 3 \right)}$

                  El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} + 3 x + 9 \log{\left(x - 3 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} + \frac{9 \log{\left(x - 3 \right)}}{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int x \log{\left(2 \right)}\, dx = \log{\left(2 \right)} \int x\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2} \log{\left(2 \right)}}{2}$

            El resultado es: $\frac{x^{2} \log{\left(x - 3 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{2} \log{\left(2 \right)}}{2} - \frac{3 x}{2} - \frac{9 \log{\left(x - 3 \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{2} \log{\left(x - 3 \right)} - \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \log{\left(2 \right)} - 3 x - 9 \log{\left(x - 3 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 6 \log{\left(2 x - 6 \right)}\right)\, dx = - 6 \int \log{\left(2 x - 6 \right)}\, dx$

         1. que $u = 2 x - 6$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\log{\left(u \right)}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \log{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \log{\left(u \right)}\, du}{2}$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 1\, du = u$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u \log{\left(u \right)}}{2} - \frac{u}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- x + \frac{\left(2 x - 6\right) \log{\left(2 x - 6 \right)}}{2} + 3$

         Por lo tanto, el resultado es: $6 x - 3 \left(2 x - 6\right) \log{\left(2 x - 6 \right)} - 18$

      El resultado es: $x^{2} \log{\left(x - 3 \right)} - \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \log{\left(2 \right)} + 3 x - 3 \left(2 x - 6\right) \log{\left(2 x - 6 \right)} - 9 \log{\left(x - 3 \right)} - 18$

2. Ahora simplificar:

   $\left(x - 3\right)^{2} \left(\log{\left(2 x - 6 \right)} - \frac{1}{2}\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\left(x - 3\right)^{2} \left(\log{\left(2 x - 6 \right)} - \frac{1}{2}\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\left(x - 3\right)^{2} \left(\log{\left(2 x - 6 \right)} - \frac{1}{2}\right)+ \mathrm{constant}$