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Resolución de integrales/ x^2+4/ (4x-1)/ (4x-1)/(√x^2+4x+20)

Integral de (4x-1)/(√x^2+4x+20) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                     
  /                     
 |                      
 |       4*x - 1        
 |  ----------------- dx
 |       2              
 |    ___               
 |  \/ x   + 4*x + 20   
 |                      
/                       
0
∫014x−1((x)2+4x)+20 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{4 x - 1}{\left(\left(\sqrt{x}\right)^{2} + 4 x\right) + 20}\, dx 
Integral((4*x - 1)/((sqrt(x))^2 + 4*x + 20), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=xu = \sqrt{x}.

      Luego que du=dx2xdu = \frac{dx}{2 \sqrt{x}} y ponemos dudu:

      ∫8u3−2u5u2+20 du\int \frac{8 u^{3} - 2 u}{5 u^{2} + 20}\, du

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        8u3−2u5u2+20=8u5−34u5(u2+4)\frac{8 u^{3} - 2 u}{5 u^{2} + 20} = \frac{8 u}{5} - \frac{34 u}{5 \left(u^{2} + 4\right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫8u5 du=8∫u du5\int \frac{8 u}{5}\, du = \frac{8 \int u\, du}{5}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: 4u25\frac{4 u^{2}}{5}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−34u5(u2+4)) du=−34∫uu2+4 du5\int \left(- \frac{34 u}{5 \left(u^{2} + 4\right)}\right)\, du = - \frac{34 \int \frac{u}{u^{2} + 4}\, du}{5}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫uu2+4 du=∫2uu2+4 du2\int \frac{u}{u^{2} + 4}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} + 4}\, du}{2}

            1. que u=u2+4u = u^{2} + 4.

              Luego que du=2ududu = 2 u du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(u2+4)\log{\left(u^{2} + 4 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u2+4)2\frac{\log{\left(u^{2} + 4 \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −17log⁡(u2+4)5- \frac{17 \log{\left(u^{2} + 4 \right)}}{5}

        El resultado es: 4u25−17log⁡(u2+4)5\frac{4 u^{2}}{5} - \frac{17 \log{\left(u^{2} + 4 \right)}}{5}

      Si ahora sustituir uu más en:

      4x5−17log⁡(x+4)5\frac{4 x}{5} - \frac{17 \log{\left(x + 4 \right)}}{5}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      4x−1((x)2+4x)+20=4x5x+20−15x+20\frac{4 x - 1}{\left(\left(\sqrt{x}\right)^{2} + 4 x\right) + 20} = \frac{4 x}{5 x + 20} - \frac{1}{5 x + 20}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4x5x+20 dx=4∫x5x+20 dx\int \frac{4 x}{5 x + 20}\, dx = 4 \int \frac{x}{5 x + 20}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x5x+20=15−45(x+4)\frac{x}{5 x + 20} = \frac{1}{5} - \frac{4}{5 \left(x + 4\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫15 dx=x5\int \frac{1}{5}\, dx = \frac{x}{5}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−45(x+4)) dx=−4∫1x+4 dx5\int \left(- \frac{4}{5 \left(x + 4\right)}\right)\, dx = - \frac{4 \int \frac{1}{x + 4}\, dx}{5}

            1. que u=x+4u = x + 4.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x+4)\log{\left(x + 4 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −4log⁡(x+4)5- \frac{4 \log{\left(x + 4 \right)}}{5}

          El resultado es: x5−4log⁡(x+4)5\frac{x}{5} - \frac{4 \log{\left(x + 4 \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: 4x5−16log⁡(x+4)5\frac{4 x}{5} - \frac{16 \log{\left(x + 4 \right)}}{5}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−15x+20) dx=−∫15x+20 dx\int \left(- \frac{1}{5 x + 20}\right)\, dx = - \int \frac{1}{5 x + 20}\, dx

        1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

          Método #1

          1. que u=5x+20u = 5 x + 20.

            Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

            ∫15u du\int \frac{1}{5 u}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫1u du=∫1u du5\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{5}

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)5\frac{\log{\left(u \right)}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(5x+20)5\frac{\log{\left(5 x + 20 \right)}}{5}

          Método #2

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            15x+20=15(x+4)\frac{1}{5 x + 20} = \frac{1}{5 \left(x + 4\right)}

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫15(x+4) dx=∫1x+4 dx5\int \frac{1}{5 \left(x + 4\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 4}\, dx}{5}

            1. que u=x+4u = x + 4.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x+4)\log{\left(x + 4 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x+4)5\frac{\log{\left(x + 4 \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(5x+20)5- \frac{\log{\left(5 x + 20 \right)}}{5}

      El resultado es: 4x5−16log⁡(x+4)5−log⁡(5x+20)5\frac{4 x}{5} - \frac{16 \log{\left(x + 4 \right)}}{5} - \frac{\log{\left(5 x + 20 \right)}}{5}

  2. Añadimos la constante de integración:

    4x5−17log⁡(x+4)5+constant\frac{4 x}{5} - \frac{17 \log{\left(x + 4 \right)}}{5}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

4x5−17log⁡(x+4)5+constant\frac{4 x}{5} - \frac{17 \log{\left(x + 4 \right)}}{5}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                              
 |                                               
 |      4*x - 1               17*log(4 + x)   4*x
 | ----------------- dx = C - ------------- + ---
 |      2                           5          5 
 |   ___                                         
 | \/ x   + 4*x + 20                             
 |                                               
/
∫4x−1((x)2+4x)+20 dx=C+4x5−17log⁡(x+4)5\int \frac{4 x - 1}{\left(\left(\sqrt{x}\right)^{2} + 4 x\right) + 20}\, dx = C + \frac{4 x}{5} - \frac{17 \log{\left(x + 4 \right)}}{5}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
4   17*log(5)   17*log(4)
- - --------- + ---------
5       5           5
−17log⁡(5)5+45+17log⁡(4)5- \frac{17 \log{\left(5 \right)}}{5} + \frac{4}{5} + \frac{17 \log{\left(4 \right)}}{5} 
=
= 
4   17*log(5)   17*log(4)
- - --------- + ---------
5       5           5
−17log⁡(5)5+45+17log⁡(4)5- \frac{17 \log{\left(5 \right)}}{5} + \frac{4}{5} + \frac{17 \log{\left(4 \right)}}{5} 
4/5 - 17*log(5)/5 + 17*log(4)/5
Respuesta numérica [src] 
0.0413119255316868
0.0413119255316868

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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