Integral de x^5dx/sqrt(4)(x^6+1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{6}$.

      Luego que $du = 6 x^{5} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{u}{12} + \frac{1}{12}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u}{12}\, du = \frac{\int u\, du}{12}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{24}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{12}\, du = \frac{u}{12}$

         El resultado es: $\frac{u^{2}}{24} + \frac{u}{12}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{12}}{24} + \frac{x^{6}}{12}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{5}}{\sqrt{4}} \left(x^{6} + 1\right) = \frac{x^{11}}{2} + \frac{x^{5}}{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{11}}{2}\, dx = \frac{\int x^{11}\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{12}}{24}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{5}}{2}\, dx = \frac{\int x^{5}\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{6}}{12}$

      El resultado es: $\frac{x^{12}}{24} + \frac{x^{6}}{12}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{6} \left(x^{6} + 2\right)}{24}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{6} \left(x^{6} + 2\right)}{24}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{6} \left(x^{6} + 2\right)}{24}+ \mathrm{constant}$