Integral de x(1-5x^2)^7dx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 1 - 5 x^{2}$.

      Luego que $du = - 10 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{10}$:

      $\int \left(- \frac{u^{7}}{10}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{7}\, du = - \frac{\int u^{7}\, du}{10}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{8}}{80}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(1 - 5 x^{2}\right)^{8}}{80}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \left(1 - 5 x^{2}\right)^{7} = - 78125 x^{15} + 109375 x^{13} - 65625 x^{11} + 21875 x^{9} - 4375 x^{7} + 525 x^{5} - 35 x^{3} + x$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 78125 x^{15}\right)\, dx = - 78125 \int x^{15}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{78125 x^{16}}{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 109375 x^{13}\, dx = 109375 \int x^{13}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{15625 x^{14}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 65625 x^{11}\right)\, dx = - 65625 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{21875 x^{12}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 21875 x^{9}\, dx = 21875 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4375 x^{10}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 4375 x^{7}\right)\, dx = - 4375 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4375 x^{8}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 525 x^{5}\, dx = 525 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{175 x^{6}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 35 x^{3}\right)\, dx = - 35 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{35 x^{4}}{4}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      El resultado es: $- \frac{78125 x^{16}}{16} + \frac{15625 x^{14}}{2} - \frac{21875 x^{12}}{4} + \frac{4375 x^{10}}{2} - \frac{4375 x^{8}}{8} + \frac{175 x^{6}}{2} - \frac{35 x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(5 x^{2} - 1\right)^{8}}{80}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(5 x^{2} - 1\right)^{8}}{80}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(5 x^{2} - 1\right)^{8}}{80}+ \mathrm{constant}$