Integral de (5x^3√x+7√x)/(x√x)+(1)/(4+x^2) dx

1. Integramos término a término:

   PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=1, c=4, context=1/(x**2 + 4), symbol=x), True), (ArccothRule(a=1, b=1, c=4, context=1/(x**2 + 4), symbol=x), False), (ArctanhRule(a=1, b=1, c=4, context=1/(x**2 + 4), symbol=x), False)], context=1/(x**2 + 4), symbol=x)

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 5 x^{3}$.

         Luego que $du = 15 x^{2} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{u + 7}{3 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u + 7}{u}\, du = \frac{\int \frac{u + 7}{u}\, du}{3}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u + 7}{u} = 1 + \frac{7}{u}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{7}{u}\, du = 7 \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $7 \log{\left(u \right)}$

               El resultado es: $u + 7 \log{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{3} + \frac{7 \log{\left(u \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{5 x^{3}}{3} + \frac{7 \log{\left(5 x^{3} \right)}}{3}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{\sqrt{x} 5 x^{3} + 7 \sqrt{x}}{\sqrt{x} x} = \frac{5 x^{3} + 7}{x}$

      2. que $u = 5 x^{3}$.

         Luego que $du = 15 x^{2} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{u + 7}{3 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u + 7}{u}\, du = \frac{\int \frac{u + 7}{u}\, du}{3}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u + 7}{u} = 1 + \frac{7}{u}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{7}{u}\, du = 7 \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $7 \log{\left(u \right)}$

               El resultado es: $u + 7 \log{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{3} + \frac{7 \log{\left(u \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{5 x^{3}}{3} + \frac{7 \log{\left(5 x^{3} \right)}}{3}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{\sqrt{x} 5 x^{3} + 7 \sqrt{x}}{\sqrt{x} x} = 5 x^{2} + \frac{7}{x}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 5 x^{2}\, dx = 5 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{7}{x}\, dx = 7 \int \frac{1}{x}\, dx$

            1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $7 \log{\left(x \right)}$

         El resultado es: $\frac{5 x^{3}}{3} + 7 \log{\left(x \right)}$

   El resultado es: $\frac{5 x^{3}}{3} + \frac{7 \log{\left(5 x^{3} \right)}}{3} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{5 x^{3}}{3} + \frac{7 \log{\left(5 x^{3} \right)}}{3} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{5 x^{3}}{3} + \frac{7 \log{\left(5 x^{3} \right)}}{3} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$