Integral de (10x^4-3)(2x^5-3x+5)^9 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \left(2 x^{5} - 3 x\right) + 5$.

      Luego que $du = \left(10 x^{4} - 3\right) dx$ y ponemos $du$:

      $\int u^{9}\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int u^{9}\, du = \frac{u^{10}}{10}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(\left(2 x^{5} - 3 x\right) + 5\right)^{10}}{10}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(10 x^{4} - 3\right) \left(\left(2 x^{5} - 3 x\right) + 5\right)^{9} = 5120 x^{49} - 70656 x^{45} + 115200 x^{44} + 435456 x^{41} - 1416960 x^{40} + 1152000 x^{39} - 1575936 x^{37} + 7672320 x^{36} - 12441600 x^{35} + 6720000 x^{34} + 3701376 x^{33} - 23950080 x^{32} + 58060800 x^{31} - 62496000 x^{30} + 19321344 x^{29} + 47355840 x^{28} - 152409600 x^{27} + 244944000 x^{26} - 190191456 x^{25} + 1764000 x^{24} + 244944000 x^{23} - 521640000 x^{22} + 619081056 x^{21} - 345461760 x^{20} - 139944000 x^{19} + 646380000 x^{18} - 1018474236 x^{17} + 937131120 x^{16} - 357033600 x^{15} - 346770000 x^{14} + 892473876 x^{13} - 1097973630 x^{12} + 803260800 x^{11} - 202851000 x^{10} - 312353451 x^{9} + 573201765 x^{8} - 561095100 x^{7} + 331411500 x^{6} - 69153750 x^{5} - 76150000 x^{4} + 106312500 x^{3} - 75937500 x^{2} + 31640625 x - 5859375$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5120 x^{49}\, dx = 5120 \int x^{49}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{49}\, dx = \frac{x^{50}}{50}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{512 x^{50}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 70656 x^{45}\right)\, dx = - 70656 \int x^{45}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{45}\, dx = \frac{x^{46}}{46}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 1536 x^{46}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 115200 x^{44}\, dx = 115200 \int x^{44}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{44}\, dx = \frac{x^{45}}{45}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2560 x^{45}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 435456 x^{41}\, dx = 435456 \int x^{41}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{41}\, dx = \frac{x^{42}}{42}$

         Por lo tanto, el resultado es: $10368 x^{42}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 1416960 x^{40}\right)\, dx = - 1416960 \int x^{40}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{40}\, dx = \frac{x^{41}}{41}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 34560 x^{41}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1152000 x^{39}\, dx = 1152000 \int x^{39}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{39}\, dx = \frac{x^{40}}{40}$

         Por lo tanto, el resultado es: $28800 x^{40}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 1575936 x^{37}\right)\, dx = - 1575936 \int x^{37}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{37}\, dx = \frac{x^{38}}{38}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 41472 x^{38}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 7672320 x^{36}\, dx = 7672320 \int x^{36}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{36}\, dx = \frac{x^{37}}{37}$

         Por lo tanto, el resultado es: $207360 x^{37}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 12441600 x^{35}\right)\, dx = - 12441600 \int x^{35}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{35}\, dx = \frac{x^{36}}{36}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 345600 x^{36}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6720000 x^{34}\, dx = 6720000 \int x^{34}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{34}\, dx = \frac{x^{35}}{35}$

         Por lo tanto, el resultado es: $192000 x^{35}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3701376 x^{33}\, dx = 3701376 \int x^{33}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{33}\, dx = \frac{x^{34}}{34}$

         Por lo tanto, el resultado es: $108864 x^{34}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 23950080 x^{32}\right)\, dx = - 23950080 \int x^{32}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{32}\, dx = \frac{x^{33}}{33}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 725760 x^{33}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 58060800 x^{31}\, dx = 58060800 \int x^{31}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{31}\, dx = \frac{x^{32}}{32}$

         Por lo tanto, el resultado es: $1814400 x^{32}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 62496000 x^{30}\right)\, dx = - 62496000 \int x^{30}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{30}\, dx = \frac{x^{31}}{31}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2016000 x^{31}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 19321344 x^{29}\, dx = 19321344 \int x^{29}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{29}\, dx = \frac{x^{30}}{30}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3220224 x^{30}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 47355840 x^{28}\, dx = 47355840 \int x^{28}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{28}\, dx = \frac{x^{29}}{29}$

         Por lo tanto, el resultado es: $1632960 x^{29}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 152409600 x^{27}\right)\, dx = - 152409600 \int x^{27}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{27}\, dx = \frac{x^{28}}{28}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 5443200 x^{28}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 244944000 x^{26}\, dx = 244944000 \int x^{26}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{26}\, dx = \frac{x^{27}}{27}$

         Por lo tanto, el resultado es: $9072000 x^{27}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 190191456 x^{25}\right)\, dx = - 190191456 \int x^{25}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{25}\, dx = \frac{x^{26}}{26}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 7315056 x^{26}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1764000 x^{24}\, dx = 1764000 \int x^{24}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{24}\, dx = \frac{x^{25}}{25}$

         Por lo tanto, el resultado es: $70560 x^{25}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 244944000 x^{23}\, dx = 244944000 \int x^{23}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{23}\, dx = \frac{x^{24}}{24}$

         Por lo tanto, el resultado es: $10206000 x^{24}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 521640000 x^{22}\right)\, dx = - 521640000 \int x^{22}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{22}\, dx = \frac{x^{23}}{23}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 22680000 x^{23}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 619081056 x^{21}\, dx = 619081056 \int x^{21}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{21}\, dx = \frac{x^{22}}{22}$

         Por lo tanto, el resultado es: $28140048 x^{22}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 345461760 x^{20}\right)\, dx = - 345461760 \int x^{20}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{20}\, dx = \frac{x^{21}}{21}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 16450560 x^{21}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 139944000 x^{19}\right)\, dx = - 139944000 \int x^{19}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{19}\, dx = \frac{x^{20}}{20}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 6997200 x^{20}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 646380000 x^{18}\, dx = 646380000 \int x^{18}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{18}\, dx = \frac{x^{19}}{19}$

         Por lo tanto, el resultado es: $34020000 x^{19}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 1018474236 x^{17}\right)\, dx = - 1018474236 \int x^{17}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 56581902 x^{18}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 937131120 x^{16}\, dx = 937131120 \int x^{16}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{16}\, dx = \frac{x^{17}}{17}$

         Por lo tanto, el resultado es: $55125360 x^{17}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 357033600 x^{15}\right)\, dx = - 357033600 \int x^{15}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 22314600 x^{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 346770000 x^{14}\right)\, dx = - 346770000 \int x^{14}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 23118000 x^{15}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 892473876 x^{13}\, dx = 892473876 \int x^{13}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Por lo tanto, el resultado es: $63748134 x^{14}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 1097973630 x^{12}\right)\, dx = - 1097973630 \int x^{12}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 84459510 x^{13}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 803260800 x^{11}\, dx = 803260800 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $66938400 x^{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 202851000 x^{10}\right)\, dx = - 202851000 \int x^{10}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 18441000 x^{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 312353451 x^{9}\right)\, dx = - 312353451 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{312353451 x^{10}}{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 573201765 x^{8}\, dx = 573201765 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $63689085 x^{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 561095100 x^{7}\right)\, dx = - 561095100 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{140273775 x^{8}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 331411500 x^{6}\, dx = 331411500 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $47344500 x^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 69153750 x^{5}\right)\, dx = - 69153750 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 11525625 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 76150000 x^{4}\right)\, dx = - 76150000 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 15230000 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 106312500 x^{3}\, dx = 106312500 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $26578125 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 75937500 x^{2}\right)\, dx = - 75937500 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 25312500 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 31640625 x\, dx = 31640625 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{31640625 x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-5859375\right)\, dx = - 5859375 x$

      El resultado es: $\frac{512 x^{50}}{5} - 1536 x^{46} + 2560 x^{45} + 10368 x^{42} - 34560 x^{41} + 28800 x^{40} - 41472 x^{38} + 207360 x^{37} - 345600 x^{36} + 192000 x^{35} + 108864 x^{34} - 725760 x^{33} + 1814400 x^{32} - 2016000 x^{31} + \frac{3220224 x^{30}}{5} + 1632960 x^{29} - 5443200 x^{28} + 9072000 x^{27} - 7315056 x^{26} + 70560 x^{25} + 10206000 x^{24} - 22680000 x^{23} + 28140048 x^{22} - 16450560 x^{21} - 6997200 x^{20} + 34020000 x^{19} - 56581902 x^{18} + 55125360 x^{17} - 22314600 x^{16} - 23118000 x^{15} + 63748134 x^{14} - 84459510 x^{13} + 66938400 x^{12} - 18441000 x^{11} - \frac{312353451 x^{10}}{10} + 63689085 x^{9} - \frac{140273775 x^{8}}{2} + 47344500 x^{7} - 11525625 x^{6} - 15230000 x^{5} + 26578125 x^{4} - 25312500 x^{3} + \frac{31640625 x^{2}}{2} - 5859375 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(2 x^{5} - 3 x + 5\right)^{10}}{10}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(2 x^{5} - 3 x + 5\right)^{10}}{10}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(2 x^{5} - 3 x + 5\right)^{10}}{10}+ \mathrm{constant}$