Integral de (x+0.333)(-x*x/2+111x/500) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(- \frac{u^{3}}{2} - \frac{111 u^{2}}{2000} + \frac{36963 u}{500000}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{u^{3}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{3}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{8}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{111 u^{2}}{2000}\right)\, du = - \frac{111 \int u^{2}\, du}{2000}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{37 u^{3}}{2000}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{36963 u}{500000}\, du = \frac{36963 \int u\, du}{500000}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{36963 u^{2}}{1000000}$

         El resultado es: $- \frac{u^{4}}{8} - \frac{37 u^{3}}{2000} + \frac{36963 u^{2}}{1000000}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{x^{4}}{8} + \frac{37 x^{3}}{2000} + \frac{36963 x^{2}}{1000000}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x + \frac{333}{1000}\right) \left(\frac{111 x}{500} + \frac{- x x}{2}\right) = - \frac{x^{3}}{2} + \frac{111 x^{2}}{2000} + \frac{36963 x}{500000}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x^{3}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int x^{3}\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{4}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{111 x^{2}}{2000}\, dx = \frac{111 \int x^{2}\, dx}{2000}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{37 x^{3}}{2000}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{36963 x}{500000}\, dx = \frac{36963 \int x\, dx}{500000}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{36963 x^{2}}{1000000}$

      El resultado es: $- \frac{x^{4}}{8} + \frac{37 x^{3}}{2000} + \frac{36963 x^{2}}{1000000}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \left(- 125000 x^{2} + 18500 x + 36963\right)}{1000000}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \left(- 125000 x^{2} + 18500 x + 36963\right)}{1000000}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(- 125000 x^{2} + 18500 x + 36963\right)}{1000000}+ \mathrm{constant}$