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Resolución de integrales/ x^2-9/ 1/(x^2-9)^2

Integral de 1/(x^2-9)^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1             
  /             
 |              
 |      1       
 |  --------- dx
 |          2   
 |  / 2    \    
 |  \x  - 9/    
 |              
/               
0
∫011(x2−9)2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}}\, dx 
Integral(1/((x^2 - 9)^2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1(x2−9)2=1108(x+3)+136(x+3)2−1108(x−3)+136(x−3)2\frac{1}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} = \frac{1}{108 \left(x + 3\right)} + \frac{1}{36 \left(x + 3\right)^{2}} - \frac{1}{108 \left(x - 3\right)} + \frac{1}{36 \left(x - 3\right)^{2}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫1108(x+3) dx=∫1x+3 dx108\int \frac{1}{108 \left(x + 3\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 3}\, dx}{108}

        1. que u=x+3u = x + 3.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+3)\log{\left(x + 3 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x+3)108\frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{108}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫136(x+3)2 dx=∫1(x+3)2 dx36\int \frac{1}{36 \left(x + 3\right)^{2}}\, dx = \frac{\int \frac{1}{\left(x + 3\right)^{2}}\, dx}{36}

        1. que u=x+3u = x + 3.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −1x+3- \frac{1}{x + 3}

        Por lo tanto, el resultado es: −136(x+3)- \frac{1}{36 \left(x + 3\right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1108(x−3)) dx=−∫1x−3 dx108\int \left(- \frac{1}{108 \left(x - 3\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x - 3}\, dx}{108}

        1. que u=x−3u = x - 3.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−3)\log{\left(x - 3 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x−3)108- \frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{108}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫136(x−3)2 dx=∫1(x−3)2 dx36\int \frac{1}{36 \left(x - 3\right)^{2}}\, dx = \frac{\int \frac{1}{\left(x - 3\right)^{2}}\, dx}{36}

        1. que u=x−3u = x - 3.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −1x−3- \frac{1}{x - 3}

        Por lo tanto, el resultado es: −136(x−3)- \frac{1}{36 \left(x - 3\right)}

      El resultado es: −log⁡(x−3)108+log⁡(x+3)108−136(x+3)−136(x−3)- \frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{108} + \frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{108} - \frac{1}{36 \left(x + 3\right)} - \frac{1}{36 \left(x - 3\right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1(x2−9)2=1x4−18x2+81\frac{1}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} = \frac{1}{x^{4} - 18 x^{2} + 81}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      1x4−18x2+81=1108(x+3)+136(x+3)2−1108(x−3)+136(x−3)2\frac{1}{x^{4} - 18 x^{2} + 81} = \frac{1}{108 \left(x + 3\right)} + \frac{1}{36 \left(x + 3\right)^{2}} - \frac{1}{108 \left(x - 3\right)} + \frac{1}{36 \left(x - 3\right)^{2}}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫1108(x+3) dx=∫1x+3 dx108\int \frac{1}{108 \left(x + 3\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 3}\, dx}{108}

        1. que u=x+3u = x + 3.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+3)\log{\left(x + 3 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x+3)108\frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{108}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫136(x+3)2 dx=∫1(x+3)2 dx36\int \frac{1}{36 \left(x + 3\right)^{2}}\, dx = \frac{\int \frac{1}{\left(x + 3\right)^{2}}\, dx}{36}

        1. que u=x+3u = x + 3.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −1x+3- \frac{1}{x + 3}

        Por lo tanto, el resultado es: −136(x+3)- \frac{1}{36 \left(x + 3\right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1108(x−3)) dx=−∫1x−3 dx108\int \left(- \frac{1}{108 \left(x - 3\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x - 3}\, dx}{108}

        1. que u=x−3u = x - 3.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−3)\log{\left(x - 3 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x−3)108- \frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{108}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫136(x−3)2 dx=∫1(x−3)2 dx36\int \frac{1}{36 \left(x - 3\right)^{2}}\, dx = \frac{\int \frac{1}{\left(x - 3\right)^{2}}\, dx}{36}

        1. que u=x−3u = x - 3.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −1x−3- \frac{1}{x - 3}

        Por lo tanto, el resultado es: −136(x−3)- \frac{1}{36 \left(x - 3\right)}

      El resultado es: −log⁡(x−3)108+log⁡(x+3)108−136(x+3)−136(x−3)- \frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{108} + \frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{108} - \frac{1}{36 \left(x + 3\right)} - \frac{1}{36 \left(x - 3\right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1(x2−9)2=1x4−18x2+81\frac{1}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} = \frac{1}{x^{4} - 18 x^{2} + 81}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      1x4−18x2+81=1108(x+3)+136(x+3)2−1108(x−3)+136(x−3)2\frac{1}{x^{4} - 18 x^{2} + 81} = \frac{1}{108 \left(x + 3\right)} + \frac{1}{36 \left(x + 3\right)^{2}} - \frac{1}{108 \left(x - 3\right)} + \frac{1}{36 \left(x - 3\right)^{2}}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫1108(x+3) dx=∫1x+3 dx108\int \frac{1}{108 \left(x + 3\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 3}\, dx}{108}

        1. que u=x+3u = x + 3.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+3)\log{\left(x + 3 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x+3)108\frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{108}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫136(x+3)2 dx=∫1(x+3)2 dx36\int \frac{1}{36 \left(x + 3\right)^{2}}\, dx = \frac{\int \frac{1}{\left(x + 3\right)^{2}}\, dx}{36}

        1. que u=x+3u = x + 3.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −1x+3- \frac{1}{x + 3}

        Por lo tanto, el resultado es: −136(x+3)- \frac{1}{36 \left(x + 3\right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1108(x−3)) dx=−∫1x−3 dx108\int \left(- \frac{1}{108 \left(x - 3\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x - 3}\, dx}{108}

        1. que u=x−3u = x - 3.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−3)\log{\left(x - 3 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x−3)108- \frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{108}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫136(x−3)2 dx=∫1(x−3)2 dx36\int \frac{1}{36 \left(x - 3\right)^{2}}\, dx = \frac{\int \frac{1}{\left(x - 3\right)^{2}}\, dx}{36}

        1. que u=x−3u = x - 3.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −1x−3- \frac{1}{x - 3}

        Por lo tanto, el resultado es: −136(x−3)- \frac{1}{36 \left(x - 3\right)}

      El resultado es: −log⁡(x−3)108+log⁡(x+3)108−136(x+3)−136(x−3)- \frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{108} + \frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{108} - \frac{1}{36 \left(x + 3\right)} - \frac{1}{36 \left(x - 3\right)}

  2. Ahora simplificar:

    −6x+(x−3)(x+3)(−log⁡(x−3)+log⁡(x+3))108(x−3)(x+3)\frac{- 6 x + \left(x - 3\right) \left(x + 3\right) \left(- \log{\left(x - 3 \right)} + \log{\left(x + 3 \right)}\right)}{108 \left(x - 3\right) \left(x + 3\right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −6x+(x−3)(x+3)(−log⁡(x−3)+log⁡(x+3))108(x−3)(x+3)+constant\frac{- 6 x + \left(x - 3\right) \left(x + 3\right) \left(- \log{\left(x - 3 \right)} + \log{\left(x + 3 \right)}\right)}{108 \left(x - 3\right) \left(x + 3\right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−6x+(x−3)(x+3)(−log⁡(x−3)+log⁡(x+3))108(x−3)(x+3)+constant\frac{- 6 x + \left(x - 3\right) \left(x + 3\right) \left(- \log{\left(x - 3 \right)} + \log{\left(x + 3 \right)}\right)}{108 \left(x - 3\right) \left(x + 3\right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                      
 |                                                                       
 |     1                   1            1        log(-3 + x)   log(3 + x)
 | --------- dx = C - ----------- - ---------- - ----------- + ----------
 |         2          36*(-3 + x)   36*(3 + x)       108          108    
 | / 2    \                                                              
 | \x  - 9/                                                              
 |                                                                       
/
∫1(x2−9)2 dx=C−log⁡(x−3)108+log⁡(x+3)108−136(x+3)−136(x−3)\int \frac{1}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}}\, dx = C - \frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{108} + \frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{108} - \frac{1}{36 \left(x + 3\right)} - \frac{1}{36 \left(x - 3\right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.0100.020
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
 1    log(2)   log(4)
--- - ------ + ------
144    108      108
−log⁡(2)108+1144+log⁡(4)108- \frac{\log{\left(2 \right)}}{108} + \frac{1}{144} + \frac{\log{\left(4 \right)}}{108} 
=
= 
 1    log(2)   log(4)
--- - ------ + ------
144    108      108
−log⁡(2)108+1144+log⁡(4)108- \frac{\log{\left(2 \right)}}{108} + \frac{1}{144} + \frac{\log{\left(4 \right)}}{108} 
1/144 - log(2)/108 + log(4)/108
Respuesta numérica [src] 
0.0133624738940736
0.0133624738940736

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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