Integral de sqrt3+cos5x*sin5x dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \cos{\left(5 x \right)}$.

         Luego que $du = - 5 \sin{\left(5 x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{5}$:

         $\int \left(- \frac{u}{5}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u\, du = - \frac{\int u\, du}{5}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{10}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos^{2}{\left(5 x \right)}}{10}$

      Método #2

      1. que $u = 5 x$.

         Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{5}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du}{5}$

            1. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

               Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u\, du = - \int u\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{10}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos^{2}{\left(5 x \right)}}{10}$

      Método #3

      1. que $u = \sin{\left(5 x \right)}$.

         Luego que $du = 5 \cos{\left(5 x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

         $\int \frac{u}{5}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u\, du = \frac{\int u\, du}{5}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{10}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin^{2}{\left(5 x \right)}}{10}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int \sqrt{3}\, dx = \sqrt{3} x$

   El resultado es: $\sqrt{3} x - \frac{\cos^{2}{\left(5 x \right)}}{10}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\sqrt{3} x - \frac{\cos^{2}{\left(5 x \right)}}{10}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\sqrt{3} x - \frac{\cos^{2}{\left(5 x \right)}}{10}+ \mathrm{constant}$