Integral de x^-2(1-x)^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(1 - x\right)^{3}}{x^{2}} = - x + 3 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 3\, dx = 3 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{3}{x}\right)\, dx = - 3 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \log{\left(x \right)}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      El resultado es: $- \frac{x^{2}}{2} + 3 x - 3 \log{\left(x \right)} - \frac{1}{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(1 - x\right)^{3}}{x^{2}} = - \frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2}}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2}} = x - 3 + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-3\right)\, dx = - 3 x$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{3}{x}\, dx = 3 \int \frac{1}{x}\, dx$

            1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $3 \log{\left(x \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{x}$

         El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 3 \log{\left(x \right)} + \frac{1}{x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{2} + 3 x - 3 \log{\left(x \right)} - \frac{1}{x}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{x^{2}}{2} + 3 x - 3 \log{\left(x \right)} - \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{x^{2}}{2} + 3 x - 3 \log{\left(x \right)} - \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}$