Integral de PI((e^(2-x))^2-(e^x)^2) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \pi \left(- \left(e^{x}\right)^{2} + \left(e^{2 - x}\right)^{2}\right)\, dx = \pi \int \left(- \left(e^{x}\right)^{2} + \left(e^{2 - x}\right)^{2}\right)\, dx$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \left(e^{x}\right)^{2}\right)\, dx = - \int \left(e^{x}\right)^{2}\, dx$

         1. que $u = e^{x}$.

            Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{2 x}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{2 x}}{2}$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(e^{2 - x}\right)^{2} = e^{4} e^{- 2 x}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int e^{4} e^{- 2 x}\, dx = e^{4} \int e^{- 2 x}\, dx$

            1. que $u = - 2 x$.

               Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

               $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{4} e^{- 2 x}}{2}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(e^{2 - x}\right)^{2} = e^{4} e^{- 2 x}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int e^{4} e^{- 2 x}\, dx = e^{4} \int e^{- 2 x}\, dx$

            1. que $u = - 2 x$.

               Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

               $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{4} e^{- 2 x}}{2}$

      El resultado es: $- \frac{e^{2 x}}{2} - \frac{e^{4} e^{- 2 x}}{2}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\pi \left(- \frac{e^{2 x}}{2} - \frac{e^{4} e^{- 2 x}}{2}\right)$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\pi \left(e^{4 x} + e^{4}\right) e^{- 2 x}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\pi \left(e^{4 x} + e^{4}\right) e^{- 2 x}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\pi \left(e^{4 x} + e^{4}\right) e^{- 2 x}}{2}+ \mathrm{constant}$