Integral de 3+tan(5x) dx

1. Integramos término a término:

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\tan{\left(5 x \right)} = \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\cos{\left(5 x \right)}}$

   2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \cos{\left(5 x \right)}$.

         Luego que $du = - 5 \sin{\left(5 x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{5}$:

         $\int \left(- \frac{1}{5 u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{5}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\log{\left(\cos{\left(5 x \right)} \right)}}{5}$

      Método #2

      1. que $u = 5 x$.

         Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5 \cos{\left(u \right)}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}}\, du = \frac{\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}}\, du}{5}$

            1. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

               Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\log{\left(\cos{\left(5 x \right)} \right)}}{5}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 3\, dx = 3 x$

   El resultado es: $3 x - \frac{\log{\left(\cos{\left(5 x \right)} \right)}}{5}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $3 x - \frac{\log{\left(\cos{\left(5 x \right)} \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$3 x - \frac{\log{\left(\cos{\left(5 x \right)} \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$