Integral de tan^7(x) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\tan^{7}{\left(x \right)} = \left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{3} \tan{\left(x \right)}$

2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sec^{2}{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{3} - 3 u^{2} + 3 u - 1}{2 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{3} - 3 u^{2} + 3 u - 1}{u}\, du = \frac{\int \frac{u^{3} - 3 u^{2} + 3 u - 1}{u}\, du}{2}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{3} - 3 u^{2} + 3 u - 1}{u} = u^{2} - 3 u + 3 - \frac{1}{u}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 3 u\right)\, du = - 3 \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{2}}{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 3\, du = 3 u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

            El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} - \frac{3 u^{2}}{2} + 3 u - \log{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{6} - \frac{3 u^{2}}{4} + \frac{3 u}{2} - \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\sec^{6}{\left(x \right)}}{6} - \frac{3 \sec^{4}{\left(x \right)}}{4} + \frac{3 \sec^{2}{\left(x \right)}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{3} \tan{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \sec^{6}{\left(x \right)} - 3 \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)} + 3 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{5}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sec^{6}{\left(x \right)}}{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \sec^{4}{\left(x \right)}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sec^{2}{\left(x \right)}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \tan{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \tan{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

         2. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$

      El resultado es: $\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \frac{\sec^{6}{\left(x \right)}}{6} - \frac{3 \sec^{4}{\left(x \right)}}{4} + \frac{3 \sec^{2}{\left(x \right)}}{2}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{3} \tan{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \sec^{6}{\left(x \right)} - 3 \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)} + 3 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{5}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sec^{6}{\left(x \right)}}{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \sec^{4}{\left(x \right)}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sec^{2}{\left(x \right)}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \tan{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \tan{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

         2. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$

      El resultado es: $\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \frac{\sec^{6}{\left(x \right)}}{6} - \frac{3 \sec^{4}{\left(x \right)}}{4} + \frac{3 \sec^{2}{\left(x \right)}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\sec^{6}{\left(x \right)}}{6} - \frac{3 \sec^{4}{\left(x \right)}}{4} + \frac{3 \sec^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\sec^{6}{\left(x \right)}}{6} - \frac{3 \sec^{4}{\left(x \right)}}{4} + \frac{3 \sec^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$