Integral de (1+1/x)^3/x^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 1 + \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- u^{3}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{4}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{3}}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}} + \frac{3}{x^{4}} + \frac{1}{x^{5}}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3}{x^{3}}\, dx = 3 \int \frac{1}{x^{3}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3}{2 x^{2}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3}{x^{4}}\, dx = 3 \int \frac{1}{x^{4}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{4}}\, dx = - \frac{1}{3 x^{3}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{x^{3}}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{5}}\, dx = - \frac{1}{4 x^{4}}$

      El resultado es: $- \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} - \frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{4}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{3}}{x^{2}} = \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}{x^{5}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}{x^{5}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}} + \frac{3}{x^{4}} + \frac{1}{x^{5}}$

   3. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3}{x^{3}}\, dx = 3 \int \frac{1}{x^{3}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3}{2 x^{2}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3}{x^{4}}\, dx = 3 \int \frac{1}{x^{4}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{4}}\, dx = - \frac{1}{3 x^{3}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{x^{3}}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{5}}\, dx = - \frac{1}{4 x^{4}}$

      El resultado es: $- \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} - \frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{4}}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(x + 1\right)^{4}}{4 x^{4}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(x + 1\right)^{4}}{4 x^{4}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(x + 1\right)^{4}}{4 x^{4}}+ \mathrm{constant}$