Integral de sqrt(1+2sqrt(x))/sqrt(x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 \sqrt{x} + 1$.

      Luego que $du = \frac{dx}{\sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \sqrt{u}\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \left(2 \sqrt{x} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

   Método #2

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int 2 \sqrt{2 u + 1}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sqrt{2 u + 1}\, du = 2 \int \sqrt{2 u + 1}\, du$

         1. que $u = 2 u + 1$.

            Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\sqrt{u}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{\int \sqrt{u}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\left(2 u + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \left(2 u + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \left(2 \sqrt{x} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \left(2 \sqrt{x} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(2 \sqrt{x} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$