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Resolución de integrales/ x/(x^2+a^2)/ x/(x^2+a^2)^(3/2)

Integral de x/(x^2+a^2)^(3/2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                
  /                
 |                 
 |       x         
 |  ------------ dx
 |           3/2   
 |  / 2    2\      
 |  \x  + a /      
 |                 
/                  
0
∫01x(a2+x2)32 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x}{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\, dx 
Integral(x/(x^2 + a^2)^(3/2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x(a2+x2)32=xa2a2+x2+x2a2+x2\frac{x}{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{x}{a^{2} \sqrt{a^{2} + x^{2}} + x^{2} \sqrt{a^{2} + x^{2}}}

    2. que u=x2u = x^{2}.

      Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos dudu:

      ∫12a2a2+u+2ua2+u du\int \frac{1}{2 a^{2} \sqrt{a^{2} + u} + 2 u \sqrt{a^{2} + u}}\, du

      1. que u=u+a2u = \sqrt{u + a^{2}}.

        Luego que du=du2u+a2du = \frac{du}{2 \sqrt{u + a^{2}}} y ponemos dudu:

        ∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −1u+a2- \frac{1}{\sqrt{u + a^{2}}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −1a2+x2- \frac{1}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x(a2+x2)32=xa2a2+x2+x2a2+x2\frac{x}{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{x}{a^{2} \sqrt{a^{2} + x^{2}} + x^{2} \sqrt{a^{2} + x^{2}}}

    2. que u=x2u = x^{2}.

      Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos dudu:

      ∫12a2a2+u+2ua2+u du\int \frac{1}{2 a^{2} \sqrt{a^{2} + u} + 2 u \sqrt{a^{2} + u}}\, du

      1. que u=u+a2u = \sqrt{u + a^{2}}.

        Luego que du=du2u+a2du = \frac{du}{2 \sqrt{u + a^{2}}} y ponemos dudu:

        ∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −1u+a2- \frac{1}{\sqrt{u + a^{2}}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −1a2+x2- \frac{1}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −1a2+x2+constant- \frac{1}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−1a2+x2+constant- \frac{1}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                  
 |                                   
 |      x                     1      
 | ------------ dx = C - ------------
 |          3/2             _________
 | / 2    2\               /  2    2 
 | \x  + a /             \/  a  + x  
 |                                   
/
∫x(a2+x2)32 dx=C−1a2+x2\int \frac{x}{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\, dx = C - \frac{1}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}
Simplificar
Respuesta [src] 
   1           1     
------- - -----------
   ____      ________
  /  2      /      2 
\/  a     \/  1 + a
1a2−1a2+1\frac{1}{\sqrt{a^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{a^{2} + 1}} 
=
= 
   1           1     
------- - -----------
   ____      ________
  /  2      /      2 
\/  a     \/  1 + a
1a2−1a2+1\frac{1}{\sqrt{a^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{a^{2} + 1}} 
1/sqrt(a^2) - 1/sqrt(1 + a^2)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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