Integral de ∫ e^cosx𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 e^{\cos{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int e^{\cos{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u e^{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u e^{u}\, du = - \int u e^{u}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- u e^{u} + e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- e^{\cos{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)} + e^{\cos{\left(x \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 2 e^{\cos{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)} + 2 e^{\cos{\left(x \right)}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{\cos{\left(x \right)}} \sin{\left(2 x \right)} = 2 e^{\cos{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 e^{\cos{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int e^{\cos{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u e^{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u e^{u}\, du = - \int u e^{u}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- u e^{u} + e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- e^{\cos{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)} + e^{\cos{\left(x \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 2 e^{\cos{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)} + 2 e^{\cos{\left(x \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) e^{\cos{\left(x \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) e^{\cos{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) e^{\cos{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$