Sr Examen

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Integral de (5-3x)sin(5x/3) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                      
  /                      
 |                       
 |               /5*x\   
 |  (5 - 3*x)*sin|---| dx
 |               \ 3 /   
 |                       
/                        
0                        
01(53x)sin(5x3)dx\int\limits_{0}^{1} \left(5 - 3 x\right) \sin{\left(\frac{5 x}{3} \right)}\, dx
Integral((5 - 3*x)*sin((5*x)/3), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (53x)sin(5x3)=3xsin(5x3)+5sin(5x3)\left(5 - 3 x\right) \sin{\left(\frac{5 x}{3} \right)} = - 3 x \sin{\left(\frac{5 x}{3} \right)} + 5 \sin{\left(\frac{5 x}{3} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (3xsin(5x3))dx=3xsin(5x3)dx\int \left(- 3 x \sin{\left(\frac{5 x}{3} \right)}\right)\, dx = - 3 \int x \sin{\left(\frac{5 x}{3} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv(x)=sin(5x3)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{5 x}{3} \right)}.

          Entonces du(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=5x3u = \frac{5 x}{3}.

            Luego que du=5dx3du = \frac{5 dx}{3} y ponemos 3du5\frac{3 du}{5}:

            3sin(u)5du\int \frac{3 \sin{\left(u \right)}}{5}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              sin(u)du=3sin(u)du5\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{3 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 3cos(u)5- \frac{3 \cos{\left(u \right)}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            3cos(5x3)5- \frac{3 \cos{\left(\frac{5 x}{3} \right)}}{5}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          (3cos(5x3)5)dx=3cos(5x3)dx5\int \left(- \frac{3 \cos{\left(\frac{5 x}{3} \right)}}{5}\right)\, dx = - \frac{3 \int \cos{\left(\frac{5 x}{3} \right)}\, dx}{5}

          1. que u=5x3u = \frac{5 x}{3}.

            Luego que du=5dx3du = \frac{5 dx}{3} y ponemos 3du5\frac{3 du}{5}:

            3cos(u)5du\int \frac{3 \cos{\left(u \right)}}{5}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              cos(u)du=3cos(u)du5\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{3 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{5}

              1. La integral del coseno es seno:

                cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 3sin(u)5\frac{3 \sin{\left(u \right)}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            3sin(5x3)5\frac{3 \sin{\left(\frac{5 x}{3} \right)}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: 9sin(5x3)25- \frac{9 \sin{\left(\frac{5 x}{3} \right)}}{25}

        Por lo tanto, el resultado es: 9xcos(5x3)527sin(5x3)25\frac{9 x \cos{\left(\frac{5 x}{3} \right)}}{5} - \frac{27 \sin{\left(\frac{5 x}{3} \right)}}{25}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        5sin(5x3)dx=5sin(5x3)dx\int 5 \sin{\left(\frac{5 x}{3} \right)}\, dx = 5 \int \sin{\left(\frac{5 x}{3} \right)}\, dx

        1. que u=5x3u = \frac{5 x}{3}.

          Luego que du=5dx3du = \frac{5 dx}{3} y ponemos 3du5\frac{3 du}{5}:

          3sin(u)5du\int \frac{3 \sin{\left(u \right)}}{5}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            sin(u)du=3sin(u)du5\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{3 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 3cos(u)5- \frac{3 \cos{\left(u \right)}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          3cos(5x3)5- \frac{3 \cos{\left(\frac{5 x}{3} \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: 3cos(5x3)- 3 \cos{\left(\frac{5 x}{3} \right)}

      El resultado es: 9xcos(5x3)527sin(5x3)253cos(5x3)\frac{9 x \cos{\left(\frac{5 x}{3} \right)}}{5} - \frac{27 \sin{\left(\frac{5 x}{3} \right)}}{25} - 3 \cos{\left(\frac{5 x}{3} \right)}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=53xu{\left(x \right)} = 5 - 3 x y que dv(x)=sin(5x3)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{5 x}{3} \right)}.

      Entonces du(x)=3\operatorname{du}{\left(x \right)} = -3.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=5x3u = \frac{5 x}{3}.

        Luego que du=5dx3du = \frac{5 dx}{3} y ponemos 3du5\frac{3 du}{5}:

        3sin(u)5du\int \frac{3 \sin{\left(u \right)}}{5}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          sin(u)du=3sin(u)du5\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{3 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 3cos(u)5- \frac{3 \cos{\left(u \right)}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        3cos(5x3)5- \frac{3 \cos{\left(\frac{5 x}{3} \right)}}{5}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      9cos(5x3)5dx=9cos(5x3)dx5\int \frac{9 \cos{\left(\frac{5 x}{3} \right)}}{5}\, dx = \frac{9 \int \cos{\left(\frac{5 x}{3} \right)}\, dx}{5}

      1. que u=5x3u = \frac{5 x}{3}.

        Luego que du=5dx3du = \frac{5 dx}{3} y ponemos 3du5\frac{3 du}{5}:

        3cos(u)5du\int \frac{3 \cos{\left(u \right)}}{5}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          cos(u)du=3cos(u)du5\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{3 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{5}

          1. La integral del coseno es seno:

            cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 3sin(u)5\frac{3 \sin{\left(u \right)}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        3sin(5x3)5\frac{3 \sin{\left(\frac{5 x}{3} \right)}}{5}

      Por lo tanto, el resultado es: 27sin(5x3)25\frac{27 \sin{\left(\frac{5 x}{3} \right)}}{25}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (53x)sin(5x3)=3xsin(5x3)+5sin(5x3)\left(5 - 3 x\right) \sin{\left(\frac{5 x}{3} \right)} = - 3 x \sin{\left(\frac{5 x}{3} \right)} + 5 \sin{\left(\frac{5 x}{3} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (3xsin(5x3))dx=3xsin(5x3)dx\int \left(- 3 x \sin{\left(\frac{5 x}{3} \right)}\right)\, dx = - 3 \int x \sin{\left(\frac{5 x}{3} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv(x)=sin(5x3)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{5 x}{3} \right)}.

          Entonces du(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=5x3u = \frac{5 x}{3}.

            Luego que du=5dx3du = \frac{5 dx}{3} y ponemos 3du5\frac{3 du}{5}:

            3sin(u)5du\int \frac{3 \sin{\left(u \right)}}{5}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              sin(u)du=3sin(u)du5\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{3 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 3cos(u)5- \frac{3 \cos{\left(u \right)}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            3cos(5x3)5- \frac{3 \cos{\left(\frac{5 x}{3} \right)}}{5}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          (3cos(5x3)5)dx=3cos(5x3)dx5\int \left(- \frac{3 \cos{\left(\frac{5 x}{3} \right)}}{5}\right)\, dx = - \frac{3 \int \cos{\left(\frac{5 x}{3} \right)}\, dx}{5}

          1. que u=5x3u = \frac{5 x}{3}.

            Luego que du=5dx3du = \frac{5 dx}{3} y ponemos 3du5\frac{3 du}{5}:

            3cos(u)5du\int \frac{3 \cos{\left(u \right)}}{5}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              cos(u)du=3cos(u)du5\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{3 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{5}

              1. La integral del coseno es seno:

                cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 3sin(u)5\frac{3 \sin{\left(u \right)}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            3sin(5x3)5\frac{3 \sin{\left(\frac{5 x}{3} \right)}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: 9sin(5x3)25- \frac{9 \sin{\left(\frac{5 x}{3} \right)}}{25}

        Por lo tanto, el resultado es: 9xcos(5x3)527sin(5x3)25\frac{9 x \cos{\left(\frac{5 x}{3} \right)}}{5} - \frac{27 \sin{\left(\frac{5 x}{3} \right)}}{25}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        5sin(5x3)dx=5sin(5x3)dx\int 5 \sin{\left(\frac{5 x}{3} \right)}\, dx = 5 \int \sin{\left(\frac{5 x}{3} \right)}\, dx

        1. que u=5x3u = \frac{5 x}{3}.

          Luego que du=5dx3du = \frac{5 dx}{3} y ponemos 3du5\frac{3 du}{5}:

          3sin(u)5du\int \frac{3 \sin{\left(u \right)}}{5}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            sin(u)du=3sin(u)du5\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{3 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 3cos(u)5- \frac{3 \cos{\left(u \right)}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          3cos(5x3)5- \frac{3 \cos{\left(\frac{5 x}{3} \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: 3cos(5x3)- 3 \cos{\left(\frac{5 x}{3} \right)}

      El resultado es: 9xcos(5x3)527sin(5x3)253cos(5x3)\frac{9 x \cos{\left(\frac{5 x}{3} \right)}}{5} - \frac{27 \sin{\left(\frac{5 x}{3} \right)}}{25} - 3 \cos{\left(\frac{5 x}{3} \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    9xcos(5x3)527sin(5x3)253cos(5x3)+constant\frac{9 x \cos{\left(\frac{5 x}{3} \right)}}{5} - \frac{27 \sin{\left(\frac{5 x}{3} \right)}}{25} - 3 \cos{\left(\frac{5 x}{3} \right)}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

9xcos(5x3)527sin(5x3)253cos(5x3)+constant\frac{9 x \cos{\left(\frac{5 x}{3} \right)}}{5} - \frac{27 \sin{\left(\frac{5 x}{3} \right)}}{25} - 3 \cos{\left(\frac{5 x}{3} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                               /5*x\          /5*x\
 |                                          27*sin|---|   9*x*cos|---|
 |              /5*x\               /5*x\         \ 3 /          \ 3 /
 | (5 - 3*x)*sin|---| dx = C - 3*cos|---| - ----------- + ------------
 |              \ 3 /               \ 3 /        25            5      
 |                                                                    
/                                                                     
(53x)sin(5x3)dx=C+9xcos(5x3)527sin(5x3)253cos(5x3)\int \left(5 - 3 x\right) \sin{\left(\frac{5 x}{3} \right)}\, dx = C + \frac{9 x \cos{\left(\frac{5 x}{3} \right)}}{5} - \frac{27 \sin{\left(\frac{5 x}{3} \right)}}{25} - 3 \cos{\left(\frac{5 x}{3} \right)}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-5
Respuesta [src]
    27*sin(5/3)   6*cos(5/3)
3 - ----------- - ----------
         25           5     
27sin(53)256cos(53)5+3- \frac{27 \sin{\left(\frac{5}{3} \right)}}{25} - \frac{6 \cos{\left(\frac{5}{3} \right)}}{5} + 3
=
=
    27*sin(5/3)   6*cos(5/3)
3 - ----------- - ----------
         25           5     
27sin(53)256cos(53)5+3- \frac{27 \sin{\left(\frac{5}{3} \right)}}{25} - \frac{6 \cos{\left(\frac{5}{3} \right)}}{5} + 3
3 - 27*sin(5/3)/25 - 6*cos(5/3)/5
Respuesta numérica [src]
2.03982766324534
2.03982766324534

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.