Integral de xln(1-x) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = \log{\left(1 - x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{1 - x}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \left(- \frac{x^{2}}{2 \left(1 - x\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{x^{2}}{1 - x}\, dx}{2}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x^{2}}{1 - x} = - x - 1 - \frac{1}{x - 1}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

            1. que $u = x - 1$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x - 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x - 1 \right)}$

         El resultado es: $- \frac{x^{2}}{2} - x - \log{\left(x - 1 \right)}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x^{2}}{1 - x} = - \frac{x^{2}}{x - 1}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x^{2}}{x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2}}{x - 1}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x^{2}}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            1. que $u = x - 1$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x - 1 \right)}$

            El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} + x + \log{\left(x - 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{2} - x - \log{\left(x - 1 \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \log{\left(1 - x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \log{\left(1 - x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$