Integral de 0.09x(6-x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{9 u^{2}}{100} + \frac{27 u}{50}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{9 u^{2}}{100}\, du = \frac{9 \int u^{2}\, du}{100}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{3}}{100}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{27 u}{50}\, du = \frac{27 \int u\, du}{50}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{27 u^{2}}{100}$

         El resultado es: $\frac{3 u^{3}}{100} + \frac{27 u^{2}}{100}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{3 x^{3}}{100} + \frac{27 x^{2}}{100}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{9 x}{100} \left(6 - x\right) = - \frac{9 x^{2}}{100} + \frac{27 x}{50}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{9 x^{2}}{100}\right)\, dx = - \frac{9 \int x^{2}\, dx}{100}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 x^{3}}{100}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{27 x}{50}\, dx = \frac{27 \int x\, dx}{50}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{27 x^{2}}{100}$

      El resultado es: $- \frac{3 x^{3}}{100} + \frac{27 x^{2}}{100}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{3 x^{2} \left(9 - x\right)}{100}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 x^{2} \left(9 - x\right)}{100}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 x^{2} \left(9 - x\right)}{100}+ \mathrm{constant}$