Integral de 1/(3-x)^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(3 - x\right)^{3}} = - \frac{1}{\left(x - 3\right)^{3}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{1}{\left(x - 3\right)^{3}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\left(x - 3\right)^{3}}\, dx$

      1. que $u = x - 3$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{2 \left(x - 3\right)^{2}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{2 \left(x - 3\right)^{2}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(3 - x\right)^{3}} = - \frac{1}{x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{1}{x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27} = \frac{1}{\left(x - 3\right)^{3}}$

      2. que $u = x - 3$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{2 \left(x - 3\right)^{2}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{2 \left(x - 3\right)^{2}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(3 - x\right)^{3}} = \frac{1}{- x^{3} + 9 x^{2} - 27 x + 27}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{- x^{3} + 9 x^{2} - 27 x + 27} = - \frac{1}{\left(x - 3\right)^{3}}$

   3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{1}{\left(x - 3\right)^{3}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\left(x - 3\right)^{3}}\, dx$

      1. que $u = x - 3$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{2 \left(x - 3\right)^{2}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{2 \left(x - 3\right)^{2}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{1}{2 \left(x - 3\right)^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{1}{2 \left(x - 3\right)^{2}}+ \mathrm{constant}$