Integral de 2cos(x)sin(5x)sin(x) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\sin{\left(5 x \right)} 2 \cos{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} = 32 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 40 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 10 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 32 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 32 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{6}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{32 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 40 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 40 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{4}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 8 \sin^{5}{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 10 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 10 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{2}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{10 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

   El resultado es: $\frac{32 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} - 8 \sin^{5}{\left(x \right)} + \frac{10 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \left(48 \sin^{4}{\left(x \right)} - 84 \sin^{2}{\left(x \right)} + 35\right) \sin^{3}{\left(x \right)}}{21}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \left(48 \sin^{4}{\left(x \right)} - 84 \sin^{2}{\left(x \right)} + 35\right) \sin^{3}{\left(x \right)}}{21}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(48 \sin^{4}{\left(x \right)} - 84 \sin^{2}{\left(x \right)} + 35\right) \sin^{3}{\left(x \right)}}{21}+ \mathrm{constant}$