Integral de (1-x)*sinx*pi dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \pi \left(1 - x\right) \sin{\left(x \right)}\, dx = \pi \int \left(1 - x\right) \sin{\left(x \right)}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

         $\int \left(u \sin{\left(u \right)} + \sin{\left(u \right)}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral del seno es un coseno menos:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - \int \cos{\left(u \right)}\, du$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(u \right)}$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            El resultado es: $- u \cos{\left(u \right)} + \sin{\left(u \right)} - \cos{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(1 - x\right) \sin{\left(x \right)} = - x \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- x \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int x \sin{\left(x \right)}\, dx$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(x \right)}$:

               1. La integral del seno es un coseno menos:

                  $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(x \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         El resultado es: $x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$

      Método #3

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = 1 - x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = -1$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del coseno es seno:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\pi \left(x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)$

2. Ahora simplificar:

   $\pi \left(x \cos{\left(x \right)} - \sqrt{2} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\pi \left(x \cos{\left(x \right)} - \sqrt{2} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\pi \left(x \cos{\left(x \right)} - \sqrt{2} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\right)+ \mathrm{constant}$