Integral de (1-x)sin(xpi) dx

Solución

Ha introducido [src]

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 |  (1 - x)*sin(x*pi) dx
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-2

$$\int\limits_{-2}^{2} \left(1 - x\right) \sin{\left(\pi x \right)}\, dx$$

Integral((1 - x)*sin(x*pi), (x, -2, 2))

Solución detallada

Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. que $u = - x$ .
  
  Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$ :
  
  $\int \left(u \sin{\left(\pi u \right)} + \sin{\left(\pi u \right)}\right)\, du$
  1. Integramos término a término:
    1. Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(u \pi \right)}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$ .
      
      Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
      
      que $u = u \pi$ .
      
      Luego que $du = \pi du$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos{\left(u \pi \right)}}{\pi}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(u \pi \right)}}{\pi}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(u \pi \right)}\, du}{\pi}$
      
      que $u = u \pi$ .
      
      Luego que $du = \pi du$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(u \pi \right)}}{\pi}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(u \pi \right)}}{\pi^{2}}$
    1. que $u = u \pi$ .
      
      Luego que $du = \pi du$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos{\left(u \pi \right)}}{\pi}$
    El resultado es: $- \frac{u \cos{\left(u \pi \right)}}{\pi} + \frac{\sin{\left(u \pi \right)}}{\pi^{2}} - \frac{\cos{\left(u \pi \right)}}{\pi}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $\frac{x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} - \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(1 - x\right) \sin{\left(\pi x \right)} = - x \sin{\left(\pi x \right)} + \sin{\left(\pi x \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- x \sin{\left(\pi x \right)}\right)\, dx = - \int x \sin{\left(\pi x \right)}\, dx$
    1. Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .
      
      Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
      
      que $u = \pi x$ .
      
      Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi}$
      
      que $u = \pi x$ .
      
      Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} - \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}$
  1. que $u = \pi x$ .
    
    Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$ :
    
    $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$
  El resultado es: $\frac{x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} - \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$
Método #3
1. Usamos la integración por partes:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  que $u{\left(x \right)} = 1 - x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}$ .
  
  Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = -1$ .
  
  Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
  1. que $u = \pi x$ .
    
    Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$ :
    
    $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$
  Ahora resolvemos podintegral.
2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}\, dx = \frac{\int \cos{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi}$
  1. que $u = \pi x$ .
    
    Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$ :
    
    $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}$
  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}$
Método #4
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(1 - x\right) \sin{\left(\pi x \right)} = - x \sin{\left(\pi x \right)} + \sin{\left(\pi x \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- x \sin{\left(\pi x \right)}\right)\, dx = - \int x \sin{\left(\pi x \right)}\, dx$
    1. Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .
      
      Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
      
      que $u = \pi x$ .
      
      Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi}$
      
      que $u = \pi x$ .
      
      Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} - \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}$
  1. que $u = \pi x$ .
    
    Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$ :
    
    $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$
  El resultado es: $\frac{x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} - \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$
Ahora simplificar:

$\frac{\pi \left(x - 1\right) \cos{\left(\pi x \right)} - \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{\pi \left(x - 1\right) \cos{\left(\pi x \right)} - \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\pi \left(x - 1\right) \cos{\left(\pi x \right)} - \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                              
 |                            cos(pi*x)   sin(pi*x)   x*cos(pi*x)
 | (1 - x)*sin(x*pi) dx = C - --------- - --------- + -----------
 |                                pi           2           pi    
/                                            pi

$$\int \left(1 - x\right) \sin{\left(\pi x \right)}\, dx = C + \frac{x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} - \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

4 
--
pi

$$\frac{4}{\pi}$$

4 
--
pi

$$\frac{4}{\pi}$$

4/pi

Respuesta numérica [src]

1.27323954473516

1.27323954473516

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Integral de (1-x)sin(xpi) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3

Método #4