Integral de Sqrt(1+1)/cos(x)^4 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{\sqrt{2}}{\cos^{4}{\left(x \right)}}\, dx = \sqrt{2} \int \frac{1}{\cos^{4}{\left(x \right)}}\, dx$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sec^{4}{\left(x \right)} = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sec^{2}{\left(x \right)}$

   2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

         $\int \left(u^{2} + 1\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} + u$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sec^{2}{\left(x \right)} = \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + \sec^{2}{\left(x \right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         1. $\int \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = \tan{\left(x \right)}$

         El resultado es: $\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sec^{2}{\left(x \right)} = \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + \sec^{2}{\left(x \right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         1. $\int \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = \tan{\left(x \right)}$

         El resultado es: $\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{2} \left(\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}\right)$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\sqrt{2} \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 3\right) \tan{\left(x \right)}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sqrt{2} \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 3\right) \tan{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sqrt{2} \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 3\right) \tan{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$