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Resolución de integrales/ 2*x+3/ sin(x/4)/ (2*x+3)*sin(x/4)

Integral de (2*x+3)*sin(x/4) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                    
  /                    
 |                     
 |               /x\   
 |  (2*x + 3)*sin|-| dx
 |               \4/   
 |                     
/                      
0
∫01(2x+3)sin⁡(x4) dx\int\limits_{0}^{1} \left(2 x + 3\right) \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx 
Integral((2*x + 3)*sin(x/4), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2x+3)sin⁡(x4)=2xsin⁡(x4)+3sin⁡(x4)\left(2 x + 3\right) \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} = 2 x \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} + 3 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2xsin⁡(x4) dx=2∫xsin⁡(x4) dx\int 2 x \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx = 2 \int x \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x4)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x4u = \frac{x}{4}.

            Luego que du=dx4du = \frac{dx}{4} y ponemos 4du4 du:

            ∫4sin⁡(u) du\int 4 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=4∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 4 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡(u)- 4 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −4cos⁡(x4)- 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−4cos⁡(x4)) dx=−4∫cos⁡(x4) dx\int \left(- 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\right)\, dx = - 4 \int \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx

          1. que u=x4u = \frac{x}{4}.

            Luego que du=dx4du = \frac{dx}{4} y ponemos 4du4 du:

            ∫4cos⁡(u) du\int 4 \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=4∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 4 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 4sin⁡(u)4 \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            4sin⁡(x4)4 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −16sin⁡(x4)- 16 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −8xcos⁡(x4)+32sin⁡(x4)- 8 x \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} + 32 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3sin⁡(x4) dx=3∫sin⁡(x4) dx\int 3 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx

        1. que u=x4u = \frac{x}{4}.

          Luego que du=dx4du = \frac{dx}{4} y ponemos 4du4 du:

          ∫4sin⁡(u) du\int 4 \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=4∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 4 \int \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡(u)- 4 \cos{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −4cos⁡(x4)- 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −12cos⁡(x4)- 12 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}

      El resultado es: −8xcos⁡(x4)+32sin⁡(x4)−12cos⁡(x4)- 8 x \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} + 32 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} - 12 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=2x+3u{\left(x \right)} = 2 x + 3 y que dv⁡(x)=sin⁡(x4)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}.

      Entonces du⁡(x)=2\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=x4u = \frac{x}{4}.

        Luego que du=dx4du = \frac{dx}{4} y ponemos 4du4 du:

        ∫4sin⁡(u) du\int 4 \sin{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=4∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 4 \int \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡(u)- 4 \cos{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −4cos⁡(x4)- 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−8cos⁡(x4)) dx=−8∫cos⁡(x4) dx\int \left(- 8 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\right)\, dx = - 8 \int \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx

      1. que u=x4u = \frac{x}{4}.

        Luego que du=dx4du = \frac{dx}{4} y ponemos 4du4 du:

        ∫4cos⁡(u) du\int 4 \cos{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=4∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 4 \int \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 4sin⁡(u)4 \sin{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        4sin⁡(x4)4 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −32sin⁡(x4)- 32 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2x+3)sin⁡(x4)=2xsin⁡(x4)+3sin⁡(x4)\left(2 x + 3\right) \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} = 2 x \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} + 3 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2xsin⁡(x4) dx=2∫xsin⁡(x4) dx\int 2 x \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx = 2 \int x \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x4)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x4u = \frac{x}{4}.

            Luego que du=dx4du = \frac{dx}{4} y ponemos 4du4 du:

            ∫4sin⁡(u) du\int 4 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=4∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 4 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡(u)- 4 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −4cos⁡(x4)- 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−4cos⁡(x4)) dx=−4∫cos⁡(x4) dx\int \left(- 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\right)\, dx = - 4 \int \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx

          1. que u=x4u = \frac{x}{4}.

            Luego que du=dx4du = \frac{dx}{4} y ponemos 4du4 du:

            ∫4cos⁡(u) du\int 4 \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=4∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 4 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 4sin⁡(u)4 \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            4sin⁡(x4)4 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −16sin⁡(x4)- 16 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −8xcos⁡(x4)+32sin⁡(x4)- 8 x \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} + 32 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3sin⁡(x4) dx=3∫sin⁡(x4) dx\int 3 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx

        1. que u=x4u = \frac{x}{4}.

          Luego que du=dx4du = \frac{dx}{4} y ponemos 4du4 du:

          ∫4sin⁡(u) du\int 4 \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=4∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 4 \int \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡(u)- 4 \cos{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −4cos⁡(x4)- 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −12cos⁡(x4)- 12 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}

      El resultado es: −8xcos⁡(x4)+32sin⁡(x4)−12cos⁡(x4)- 8 x \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} + 32 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} - 12 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −8xcos⁡(x4)+32sin⁡(x4)−12cos⁡(x4)+constant- 8 x \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} + 32 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} - 12 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−8xcos⁡(x4)+32sin⁡(x4)−12cos⁡(x4)+constant- 8 x \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} + 32 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} - 12 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                            
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 |              /x\                /x\         /x\          /x\
 | (2*x + 3)*sin|-| dx = C - 12*cos|-| + 32*sin|-| - 8*x*cos|-|
 |              \4/                \4/         \4/          \4/
 |                                                             
/
∫(2x+3)sin⁡(x4) dx=C−8xcos⁡(x4)+32sin⁡(x4)−12cos⁡(x4)\int \left(2 x + 3\right) \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx = C - 8 x \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} + 32 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} - 12 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-2010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
12 - 20*cos(1/4) + 32*sin(1/4)
−20cos⁡(14)+32sin⁡(14)+12- 20 \cos{\left(\frac{1}{4} \right)} + 32 \sin{\left(\frac{1}{4} \right)} + 12 
=
= 
12 - 20*cos(1/4) + 32*sin(1/4)
−20cos⁡(14)+32sin⁡(14)+12- 20 \cos{\left(\frac{1}{4} \right)} + 32 \sin{\left(\frac{1}{4} \right)} + 12 
12 - 20*cos(1/4) + 32*sin(1/4)
Respuesta numérica [src] 
0.538678261931838
0.538678261931838

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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