Sr Examen
Integral de (ч-1/3)/(ч^2-2*x+5) dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | x - 1/3 | ------------ dx | 2 | x - 2*x + 5 | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x - \frac{1}{3}}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 5}\, dx$$
Integral((x - 1/3)/(x^2 - 2*x + 5), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | x - 1/3 | ------------ dx | 2 | x - 2*x + 5 | /
Reescribimos la función subintegral
/ 2*x - 2 \
|------------| / 2 \
| 2 | |---|
x - 1/3 \x - 2*x + 5/ \3*4/
------------ = -------------- + --------------
2 2 2
x - 2*x + 5 / x 1\
|- - + -| + 1
\ 2 2/ o
/ | | x - 1/3 | ------------ dx | 2 = | x - 2*x + 5 | /
/
|
/ | 1
| | -------------- dx
| 2*x - 2 | 2
| ------------ dx | / x 1\
| 2 | |- - + -| + 1
| x - 2*x + 5 | \ 2 2/
| |
/ /
------------------ + --------------------
2 6 En integral
/
|
| 2*x - 2
| ------------ dx
| 2
| x - 2*x + 5
|
/
------------------
2 hacemos el cambio
2 u = x - 2*x
entonces
integral =
/
|
| 1
| ----- du
| 5 + u
|
/ log(5 + u)
----------- = ----------
2 2 hacemos cambio inverso
/
|
| 2*x - 2
| ------------ dx
| 2
| x - 2*x + 5
| / 2 \
/ log\5 + x - 2*x/
------------------ = -----------------
2 2 En integral
/
|
| 1
| -------------- dx
| 2
| / x 1\
| |- - + -| + 1
| \ 2 2/
|
/
--------------------
6 hacemos el cambio
1 x
v = - - -
2 2entonces
integral =
/
|
| 1
| ------ dv
| 2
| 1 + v
|
/ atan(v)
------------ = -------
6 6 hacemos cambio inverso
/
|
| 1
| -------------- dx
| 2
| / x 1\
| |- - + -| + 1
| \ 2 2/ / 1 x\
| atan|- - + -|
/ \ 2 2/
-------------------- = -------------
6 3 La solución:
/ 1 x\
/ 2 \ atan|- - + -|
log\5 + x - 2*x/ \ 2 2/
C + ----------------- + -------------
2 3
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ / 1 x\ | / 2 \ atan|- - + -| | x - 1/3 log\5 + x - 2*x/ \ 2 2/ | ------------ dx = C + ----------------- + ------------- | 2 2 3 | x - 2*x + 5 | /
$$\int \frac{x - \frac{1}{3}}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 5}\, dx = C + \frac{\log{\left(x^{2} - 2 x + 5 \right)}}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \right)}}{3}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
log(4) log(5) atan(1/2) ------ - ------ + --------- 2 2 3
$$- \frac{\log{\left(5 \right)}}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{3} + \frac{\log{\left(4 \right)}}{2}$$
=
=
log(4) log(5) atan(1/2) ------ - ------ + --------- 2 2 3
$$- \frac{\log{\left(5 \right)}}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{3} + \frac{\log{\left(4 \right)}}{2}$$
log(4)/2 - log(5)/2 + atan(1/2)/3
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.