Integral de ln5*5^(7-6x) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 5^{7 - 6 x} \log{\left(5 \right)}\, dx = \log{\left(5 \right)} \int 5^{7 - 6 x}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 7 - 6 x$.

         Luego que $du = - 6 dx$ y ponemos $- \frac{du}{6}$:

         $\int \left(- \frac{5^{u}}{6}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 5^{u}\, du = - \frac{\int 5^{u}\, du}{6}$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 5^{u}\, du = \frac{5^{u}}{\log{\left(5 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5^{u}}{6 \log{\left(5 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{5^{7 - 6 x}}{6 \log{\left(5 \right)}}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $5^{7 - 6 x} = 78125 \cdot 5^{- 6 x}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 78125 \cdot 5^{- 6 x}\, dx = 78125 \int 5^{- 6 x}\, dx$

         1. que $u = - 6 x$.

            Luego que $du = - 6 dx$ y ponemos $- \frac{du}{6}$:

            $\int \left(- \frac{5^{u}}{6}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 5^{u}\, du = - \frac{\int 5^{u}\, du}{6}$

               1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

                  $\int 5^{u}\, du = \frac{5^{u}}{\log{\left(5 \right)}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5^{u}}{6 \log{\left(5 \right)}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{5^{- 6 x}}{6 \log{\left(5 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{78125 \cdot 5^{- 6 x}}{6 \log{\left(5 \right)}}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $5^{7 - 6 x} = 78125 \cdot 5^{- 6 x}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 78125 \cdot 5^{- 6 x}\, dx = 78125 \int 5^{- 6 x}\, dx$

         1. que $u = - 6 x$.

            Luego que $du = - 6 dx$ y ponemos $- \frac{du}{6}$:

            $\int \left(- \frac{5^{u}}{6}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 5^{u}\, du = - \frac{\int 5^{u}\, du}{6}$

               1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

                  $\int 5^{u}\, du = \frac{5^{u}}{\log{\left(5 \right)}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5^{u}}{6 \log{\left(5 \right)}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{5^{- 6 x}}{6 \log{\left(5 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{78125 \cdot 5^{- 6 x}}{6 \log{\left(5 \right)}}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5^{7 - 6 x}}{6}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{5^{7 - 6 x}}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{5^{7 - 6 x}}{6}+ \mathrm{constant}$