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Resolución de integrales/ x^2-2/ (3x^2-2x+1)sinx

Integral de (3x^2-2x+1)sinx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                           
 --                           
 4                            
  /                           
 |                            
 |  /   2          \          
 |  \3*x  - 2*x + 1/*sin(x) dx
 |                            
/                             
0
∫0π4((3x2−2x)+1)sin⁡(x) dx\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left(\left(3 x^{2} - 2 x\right) + 1\right) \sin{\left(x \right)}\, dx 
Integral((3*x^2 - 2*x + 1)*sin(x), (x, 0, pi/4))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      ((3x2−2x)+1)sin⁡(x)=3x2sin⁡(x)−2xsin⁡(x)+sin⁡(x)\left(\left(3 x^{2} - 2 x\right) + 1\right) \sin{\left(x \right)} = 3 x^{2} \sin{\left(x \right)} - 2 x \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3x2sin⁡(x) dx=3∫x2sin⁡(x) dx\int 3 x^{2} \sin{\left(x \right)}\, dx = 3 \int x^{2} \sin{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=−2xu{\left(x \right)} = - 2 x y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=−2\operatorname{du}{\left(x \right)} = -2.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2sin⁡(x)) dx=−2∫sin⁡(x) dx\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)}\, dx

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡(x)2 \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −3x2cos⁡(x)+6xsin⁡(x)+6cos⁡(x)- 3 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 6 x \sin{\left(x \right)} + 6 \cos{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2xsin⁡(x)) dx=−2∫xsin⁡(x) dx\int \left(- 2 x \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int x \sin{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(x)) dx=−∫cos⁡(x) dx\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(x)- \sin{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 2xcos⁡(x)−2sin⁡(x)2 x \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}

      1. La integral del seno es un coseno menos:

        ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      El resultado es: −3x2cos⁡(x)+6xsin⁡(x)+2xcos⁡(x)−2sin⁡(x)+5cos⁡(x)- 3 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 6 x \sin{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=3x2−2x+1u{\left(x \right)} = 3 x^{2} - 2 x + 1 y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=6x−2\operatorname{du}{\left(x \right)} = 6 x - 2.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral del seno es un coseno menos:

        ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=2−6xu{\left(x \right)} = 2 - 6 x y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=−6\operatorname{du}{\left(x \right)} = -6.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral del coseno es seno:

        ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−6sin⁡(x)) dx=−6∫sin⁡(x) dx\int \left(- 6 \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 6 \int \sin{\left(x \right)}\, dx

      1. La integral del seno es un coseno menos:

        ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: 6cos⁡(x)6 \cos{\left(x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −3x2cos⁡(x)+6xsin⁡(x)+2xcos⁡(x)−2sin⁡(x)+5cos⁡(x)+constant- 3 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 6 x \sin{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−3x2cos⁡(x)+6xsin⁡(x)+2xcos⁡(x)−2sin⁡(x)+5cos⁡(x)+constant- 3 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 6 x \sin{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                            
 |                                                                                             
 | /   2          \                                          2                                 
 | \3*x  - 2*x + 1/*sin(x) dx = C - 2*sin(x) + 5*cos(x) - 3*x *cos(x) + 2*x*cos(x) + 6*x*sin(x)
 |                                                                                             
/
∫((3x2−2x)+1)sin⁡(x) dx=C−3x2cos⁡(x)+6xsin⁡(x)+2xcos⁡(x)−2sin⁡(x)+5cos⁡(x)\int \left(\left(3 x^{2} - 2 x\right) + 1\right) \sin{\left(x \right)}\, dx = C - 3 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 6 x \sin{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.600.650.700.75010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
         ___                  ___   2
     3*\/ 2         ___   3*\/ 2 *pi 
-5 + ------- + pi*\/ 2  - -----------
        2                      32
−5−32π232+322+2π-5 - \frac{3 \sqrt{2} \pi^{2}}{32} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \pi 
=
= 
         ___                  ___   2
     3*\/ 2         ___   3*\/ 2 *pi 
-5 + ------- + pi*\/ 2  - -----------
        2                      32
−5−32π232+322+2π-5 - \frac{3 \sqrt{2} \pi^{2}}{32} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \pi 
-5 + 3*sqrt(2)/2 + pi*sqrt(2) - 3*sqrt(2)*pi^2/32
Respuesta numérica [src] 
0.255666244285719
0.255666244285719

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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