Integral de 4sin(2*pi*x)*cos(2*pi*x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sin{\left(2 \pi x \right)}$.

      Luego que $du = 2 \pi \cos{\left(2 \pi x \right)} dx$ y ponemos $\frac{2 du}{\pi}$:

      $\int \frac{2 u}{\pi}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u\, du = \frac{2 \int u\, du}{\pi}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{\pi}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sin^{2}{\left(2 \pi x \right)}}{\pi}$

   Método #2

   1. que $u = 2 \pi x$.

      Luego que $du = 2 \pi dx$ y ponemos $\frac{2 du}{\pi}$:

      $\int \frac{2 \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{2 \int \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

         1. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u\, du = - \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{\pi}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\cos^{2}{\left(2 \pi x \right)}}{\pi}$

   Método #3

   1. que $u = \cos{\left(2 \pi x \right)}$.

      Luego que $du = - 2 \pi \sin{\left(2 \pi x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{2 du}{\pi}$:

      $\int \left(- \frac{2 u}{\pi}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u\, du = - \frac{2 \int u\, du}{\pi}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{\pi}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\cos^{2}{\left(2 \pi x \right)}}{\pi}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\sin^{2}{\left(2 \pi x \right)}}{\pi}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sin^{2}{\left(2 \pi x \right)}}{\pi}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sin^{2}{\left(2 \pi x \right)}}{\pi}+ \mathrm{constant}$