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Resolución de integrales/ (2/x)/ 1/2xln(2/x)

Integral de 1/2xln(2/x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  2            
  /            
 |             
 |  x    /2\   
 |  -*log|-| dx
 |  2    \x/   
 |             
/              
0
∫02x2log⁡(2x) dx\int\limits_{0}^{2} \frac{x}{2} \log{\left(\frac{2}{x} \right)}\, dx 
Integral((x/2)*log(2/x), (x, 0, 2))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2log⁡(2x)=xlog⁡(1x)2+xlog⁡(2)2\frac{x}{2} \log{\left(\frac{2}{x} \right)} = \frac{x \log{\left(\frac{1}{x} \right)}}{2} + \frac{x \log{\left(2 \right)}}{2}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫xlog⁡(1x)2 dx=∫xlog⁡(1x) dx2\int \frac{x \log{\left(\frac{1}{x} \right)}}{2}\, dx = \frac{\int x \log{\left(\frac{1}{x} \right)}\, dx}{2}

        1. que u=log⁡(1x)u = \log{\left(\frac{1}{x} \right)}.

          Luego que du=−dxxdu = - \frac{dx}{x} y ponemos −du- du:

          ∫(−ue−2u) du\int \left(- u e^{- 2 u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫ue−2u du=−∫ue−2u du\int u e^{- 2 u}\, du = - \int u e^{- 2 u}\, du

            1. Usamos la integración por partes:

              ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

              que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e−2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{- 2 u}.

              Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

              Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

              1. que u=−2uu = - 2 u.

                Luego que du=−2dudu = - 2 du y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

                ∫(−eu2) du\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  False\text{False}

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                    ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                  Por lo tanto, el resultado es: −eu2- \frac{e^{u}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −e−2u2- \frac{e^{- 2 u}}{2}

              Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−e−2u2) du=−∫e−2u du2\int \left(- \frac{e^{- 2 u}}{2}\right)\, du = - \frac{\int e^{- 2 u}\, du}{2}

              1. que u=−2uu = - 2 u.

                Luego que du=−2dudu = - 2 du y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

                ∫(−eu2) du\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  False\text{False}

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                    ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                  Por lo tanto, el resultado es: −eu2- \frac{e^{u}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −e−2u2- \frac{e^{- 2 u}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: e−2u4\frac{e^{- 2 u}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: ue−2u2+e−2u4\frac{u e^{- 2 u}}{2} + \frac{e^{- 2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log⁡(1x)2+x24\frac{x^{2} \log{\left(\frac{1}{x} \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: x2log⁡(1x)4+x28\frac{x^{2} \log{\left(\frac{1}{x} \right)}}{4} + \frac{x^{2}}{8}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫xlog⁡(2)2 dx=log⁡(2)∫x dx2\int \frac{x \log{\left(2 \right)}}{2}\, dx = \frac{\log{\left(2 \right)} \int x\, dx}{2}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: x2log⁡(2)4\frac{x^{2} \log{\left(2 \right)}}{4}

      El resultado es: x2log⁡(1x)4+x28+x2log⁡(2)4\frac{x^{2} \log{\left(\frac{1}{x} \right)}}{4} + \frac{x^{2}}{8} + \frac{x^{2} \log{\left(2 \right)}}{4}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(2x)u{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{2}{x} \right)} y que dv⁡(x)=x2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{x}{2}.

      Entonces du⁡(x)=−1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫x2 dx=∫x dx2\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: x24\frac{x^{2}}{4}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−x4) dx=−∫x dx4\int \left(- \frac{x}{4}\right)\, dx = - \frac{\int x\, dx}{4}

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −x28- \frac{x^{2}}{8}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2log⁡(2x)=xlog⁡(1x)2+xlog⁡(2)2\frac{x}{2} \log{\left(\frac{2}{x} \right)} = \frac{x \log{\left(\frac{1}{x} \right)}}{2} + \frac{x \log{\left(2 \right)}}{2}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫xlog⁡(1x)2 dx=∫xlog⁡(1x) dx2\int \frac{x \log{\left(\frac{1}{x} \right)}}{2}\, dx = \frac{\int x \log{\left(\frac{1}{x} \right)}\, dx}{2}

        1. que u=log⁡(1x)u = \log{\left(\frac{1}{x} \right)}.

          Luego que du=−dxxdu = - \frac{dx}{x} y ponemos −du- du:

          ∫(−ue−2u) du\int \left(- u e^{- 2 u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫ue−2u du=−∫ue−2u du\int u e^{- 2 u}\, du = - \int u e^{- 2 u}\, du

            1. Usamos la integración por partes:

              ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

              que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e−2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{- 2 u}.

              Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

              Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

              1. que u=−2uu = - 2 u.

                Luego que du=−2dudu = - 2 du y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

                ∫(−eu2) du\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  False\text{False}

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                    ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                  Por lo tanto, el resultado es: −eu2- \frac{e^{u}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −e−2u2- \frac{e^{- 2 u}}{2}

              Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−e−2u2) du=−∫e−2u du2\int \left(- \frac{e^{- 2 u}}{2}\right)\, du = - \frac{\int e^{- 2 u}\, du}{2}

              1. que u=−2uu = - 2 u.

                Luego que du=−2dudu = - 2 du y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

                ∫(−eu2) du\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  False\text{False}

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                    ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                  Por lo tanto, el resultado es: −eu2- \frac{e^{u}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −e−2u2- \frac{e^{- 2 u}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: e−2u4\frac{e^{- 2 u}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: ue−2u2+e−2u4\frac{u e^{- 2 u}}{2} + \frac{e^{- 2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log⁡(1x)2+x24\frac{x^{2} \log{\left(\frac{1}{x} \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: x2log⁡(1x)4+x28\frac{x^{2} \log{\left(\frac{1}{x} \right)}}{4} + \frac{x^{2}}{8}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫xlog⁡(2)2 dx=log⁡(2)∫x dx2\int \frac{x \log{\left(2 \right)}}{2}\, dx = \frac{\log{\left(2 \right)} \int x\, dx}{2}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: x2log⁡(2)4\frac{x^{2} \log{\left(2 \right)}}{4}

      El resultado es: x2log⁡(1x)4+x28+x2log⁡(2)4\frac{x^{2} \log{\left(\frac{1}{x} \right)}}{4} + \frac{x^{2}}{8} + \frac{x^{2} \log{\left(2 \right)}}{4}

  2. Ahora simplificar:

    x2(2log⁡(1x)+1+log⁡(4))8\frac{x^{2} \left(2 \log{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1 + \log{\left(4 \right)}\right)}{8}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x2(2log⁡(1x)+1+log⁡(4))8+constant\frac{x^{2} \left(2 \log{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1 + \log{\left(4 \right)}\right)}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2(2log⁡(1x)+1+log⁡(4))8+constant\frac{x^{2} \left(2 \log{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1 + \log{\left(4 \right)}\right)}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                    2    /1\
 |                    2    2          x *log|-|
 | x    /2\          x    x *log(2)         \x/
 | -*log|-| dx = C + -- + --------- + ---------
 | 2    \x/          8        4           4    
 |                                             
/
∫x2log⁡(2x) dx=C+x2log⁡(1x)4+x28+x2log⁡(2)4\int \frac{x}{2} \log{\left(\frac{2}{x} \right)}\, dx = C + \frac{x^{2} \log{\left(\frac{1}{x} \right)}}{4} + \frac{x^{2}}{8} + \frac{x^{2} \log{\left(2 \right)}}{4}
Simplificar
Gráfica
0.02.00.20.40.60.81.01.21.41.61.80.01.0
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
1/2
12\frac{1}{2} 
=
= 
1/2
12\frac{1}{2} 
1/2
Respuesta numérica [src] 
0.5
0.5

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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