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Resolución de integrales/ x^2+5/ (x+1)/ x^2+4/ (3x^2+5)/(x+1)(x^2+4)

Integral de (3x^2+5)/(x+1)(x^2+4) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                     
  /                     
 |                      
 |     2                
 |  3*x  + 5 / 2    \   
 |  --------*\x  + 4/ dx
 |   x + 1              
 |                      
/                       
0
∫013x2+5x+1(x2+4) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{3 x^{2} + 5}{x + 1} \left(x^{2} + 4\right)\, dx 
Integral(((3*x^2 + 5)/(x + 1))*(x^2 + 4), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      3x2+5x+1(x2+4)=3x3−3x2+20x−20+40x+1\frac{3 x^{2} + 5}{x + 1} \left(x^{2} + 4\right) = 3 x^{3} - 3 x^{2} + 20 x - 20 + \frac{40}{x + 1}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3x3 dx=3∫x3 dx\int 3 x^{3}\, dx = 3 \int x^{3}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 3x44\frac{3 x^{4}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3x2) dx=−3∫x2 dx\int \left(- 3 x^{2}\right)\, dx = - 3 \int x^{2}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −x3- x^{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫20x dx=20∫x dx\int 20 x\, dx = 20 \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 10x210 x^{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫(−20) dx=−20x\int \left(-20\right)\, dx = - 20 x

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫40x+1 dx=40∫1x+1 dx\int \frac{40}{x + 1}\, dx = 40 \int \frac{1}{x + 1}\, dx

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 40log⁡(x+1)40 \log{\left(x + 1 \right)}

      El resultado es: 3x44−x3+10x2−20x+40log⁡(x+1)\frac{3 x^{4}}{4} - x^{3} + 10 x^{2} - 20 x + 40 \log{\left(x + 1 \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      3x2+5x+1(x2+4)=3x4+17x2+20x+1\frac{3 x^{2} + 5}{x + 1} \left(x^{2} + 4\right) = \frac{3 x^{4} + 17 x^{2} + 20}{x + 1}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      3x4+17x2+20x+1=3x3−3x2+20x−20+40x+1\frac{3 x^{4} + 17 x^{2} + 20}{x + 1} = 3 x^{3} - 3 x^{2} + 20 x - 20 + \frac{40}{x + 1}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3x3 dx=3∫x3 dx\int 3 x^{3}\, dx = 3 \int x^{3}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 3x44\frac{3 x^{4}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3x2) dx=−3∫x2 dx\int \left(- 3 x^{2}\right)\, dx = - 3 \int x^{2}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −x3- x^{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫20x dx=20∫x dx\int 20 x\, dx = 20 \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 10x210 x^{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫(−20) dx=−20x\int \left(-20\right)\, dx = - 20 x

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫40x+1 dx=40∫1x+1 dx\int \frac{40}{x + 1}\, dx = 40 \int \frac{1}{x + 1}\, dx

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 40log⁡(x+1)40 \log{\left(x + 1 \right)}

      El resultado es: 3x44−x3+10x2−20x+40log⁡(x+1)\frac{3 x^{4}}{4} - x^{3} + 10 x^{2} - 20 x + 40 \log{\left(x + 1 \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      3x2+5x+1(x2+4)=3x4x+1+17x2x+1+20x+1\frac{3 x^{2} + 5}{x + 1} \left(x^{2} + 4\right) = \frac{3 x^{4}}{x + 1} + \frac{17 x^{2}}{x + 1} + \frac{20}{x + 1}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3x4x+1 dx=3∫x4x+1 dx\int \frac{3 x^{4}}{x + 1}\, dx = 3 \int \frac{x^{4}}{x + 1}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x4x+1=x3−x2+x−1+1x+1\frac{x^{4}}{x + 1} = x^{3} - x^{2} + x - 1 + \frac{1}{x + 1}

        2. Integramos término a término:

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−x2) dx=−∫x2 dx\int \left(- x^{2}\right)\, dx = - \int x^{2}\, dx

            1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −x33- \frac{x^{3}}{3}

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫(−1) dx=−x\int \left(-1\right)\, dx = - x

          1. que u=x+1u = x + 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

          El resultado es: x44−x33+x22−x+log⁡(x+1)\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - x + \log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 3x44−x3+3x22−3x+3log⁡(x+1)\frac{3 x^{4}}{4} - x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} - 3 x + 3 \log{\left(x + 1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫17x2x+1 dx=17∫x2x+1 dx\int \frac{17 x^{2}}{x + 1}\, dx = 17 \int \frac{x^{2}}{x + 1}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x2x+1=x−1+1x+1\frac{x^{2}}{x + 1} = x - 1 + \frac{1}{x + 1}

        2. Integramos término a término:

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫(−1) dx=−x\int \left(-1\right)\, dx = - x

          1. que u=x+1u = x + 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

          El resultado es: x22−x+log⁡(x+1)\frac{x^{2}}{2} - x + \log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 17x22−17x+17log⁡(x+1)\frac{17 x^{2}}{2} - 17 x + 17 \log{\left(x + 1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫20x+1 dx=20∫1x+1 dx\int \frac{20}{x + 1}\, dx = 20 \int \frac{1}{x + 1}\, dx

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 20log⁡(x+1)20 \log{\left(x + 1 \right)}

      El resultado es: 3x44−x3+10x2−20x+20log⁡(x+1)+20log⁡(x+1)\frac{3 x^{4}}{4} - x^{3} + 10 x^{2} - 20 x + 20 \log{\left(x + 1 \right)} + 20 \log{\left(x + 1 \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    3x44−x3+10x2−20x+40log⁡(x+1)+constant\frac{3 x^{4}}{4} - x^{3} + 10 x^{2} - 20 x + 40 \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

3x44−x3+10x2−20x+40log⁡(x+1)+constant\frac{3 x^{4}}{4} - x^{3} + 10 x^{2} - 20 x + 40 \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                   
 |                                                                    
 |    2                                                              4
 | 3*x  + 5 / 2    \           3              2                   3*x 
 | --------*\x  + 4/ dx = C - x  - 20*x + 10*x  + 40*log(1 + x) + ----
 |  x + 1                                                          4  
 |                                                                    
/
∫3x2+5x+1(x2+4) dx=C+3x44−x3+10x2−20x+40log⁡(x+1)\int \frac{3 x^{2} + 5}{x + 1} \left(x^{2} + 4\right)\, dx = C + \frac{3 x^{4}}{4} - x^{3} + 10 x^{2} - 20 x + 40 \log{\left(x + 1 \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90040
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-41/4 + 40*log(2)
−414+40log⁡(2)- \frac{41}{4} + 40 \log{\left(2 \right)} 
=
= 
-41/4 + 40*log(2)
−414+40log⁡(2)- \frac{41}{4} + 40 \log{\left(2 \right)} 
-41/4 + 40*log(2)
Respuesta numérica [src] 
17.4758872223978
17.4758872223978

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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