Integral de (3x-1)^(-4/5)d(3x-1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{\left(3 x - 1\right)^{\frac{4}{5}}}$.

      Luego que $du = - \frac{12 dx}{5 \left(3 x - 1\right)^{\frac{9}{5}}}$ y ponemos $- \frac{5 d du}{12}$:

      $\int \left(- \frac{5 d}{12 u^{\frac{5}{2}}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u^{\frac{5}{2}}}\, du = - \frac{5 d \int \frac{1}{u^{\frac{5}{2}}}\, du}{12}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{\frac{5}{2}}}\, du = - \frac{2}{3 u^{\frac{3}{2}}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 d}{18 u^{\frac{3}{2}}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{5 d \left(3 x - 1\right)^{\frac{6}{5}}}{18}$

   Método #2

   1. que $u = 3 x - 1$.

      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{d du}{3}$:

      $\int \frac{d \sqrt[5]{u}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sqrt[5]{u}\, du = \frac{d \int \sqrt[5]{u}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt[5]{u}\, du = \frac{5 u^{\frac{6}{5}}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 u^{\frac{6}{5}} d}{18}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{5 d \left(3 x - 1\right)^{\frac{6}{5}}}{18}$

   Método #3

   1. que $u = 3 x$.

      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{d du}{3}$:

      $\int \frac{d \sqrt[5]{u - 1}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sqrt[5]{u - 1}\, du = \frac{d \int \sqrt[5]{u - 1}\, du}{3}$

         1. que $u = u - 1$.

            Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

            $\int \sqrt[5]{u}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt[5]{u}\, du = \frac{5 u^{\frac{6}{5}}}{6}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{5 \left(u - 1\right)^{\frac{6}{5}}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 d \left(u - 1\right)^{\frac{6}{5}}}{18}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{5 d \left(3 x - 1\right)^{\frac{6}{5}}}{18}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{5 d \left(3 x - 1\right)^{\frac{6}{5}}}{18}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{5 d \left(3 x - 1\right)^{\frac{6}{5}}}{18}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{5 d \left(3 x - 1\right)^{\frac{6}{5}}}{18}+ \mathrm{constant}$