Integral de (2*x^3-x^1/2+4)/x^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - \sqrt{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{4 u^{6} + 2 u + 8}{u^{3}}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{4 u^{6} + 2 u + 8}{u^{3}} = 4 u^{3} + \frac{2}{u^{2}} + \frac{8}{u^{3}}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4 u^{3}\, du = 4 \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $u^{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{u}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{8}{u^{3}}\, du = 8 \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4}{u^{2}}$

         El resultado es: $u^{4} - \frac{2}{u} - \frac{4}{u^{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $x^{2} - \frac{4}{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(- \sqrt{x} + 2 x^{3}\right) + 4}{x^{2}} = 2 x + \frac{4}{x^{2}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4}{x^{2}}\, dx = 4 \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4}{x}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\, dx = - \frac{2}{\sqrt{x}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{\sqrt{x}}$

      El resultado es: $x^{2} - \frac{4}{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x^{2} - \frac{4}{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x^{2} - \frac{4}{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}+ \mathrm{constant}$