Integral de 1/(sqrtx^2+9) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \left(\sqrt{x}\right)^{2} + 9$.

      Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\log{\left(\left(\sqrt{x}\right)^{2} + 9 \right)}$

   Método #2

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int \frac{2 u}{u^{2} + 9}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u}{u^{2} + 9}\, du = 2 \int \frac{u}{u^{2} + 9}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u}{u^{2} + 9}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} + 9}\, du}{2}$

            1. que $u = u^{2} + 9$.

               Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{2 u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(u^{2} + 9 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u^{2} + 9 \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(u^{2} + 9 \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\log{\left(x + 9 \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\log{\left(x + 9 \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\log{\left(x + 9 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\log{\left(x + 9 \right)}+ \mathrm{constant}$