Sr Examen

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¿Cómo usar?
Integral de d{x}:
Integral de 7+3*y
Integral de 3x+4
Integral de -1/t
Integral de (1+sin(x))^1/2
Expresiones idénticas
x^ dos *sin(x×pi)
x al cuadrado multiplicar por seno de (x× número pi )
x en el grado dos multiplicar por seno de (x× número pi )
x2*sin(x×pi)
x2*sinx×pi
x²*sin(x×pi)
x en el grado 2*sin(x×pi)
x^2sin(x×pi)
x2sin(x×pi)
x2sinx×pi
x^2sinx×pi
x^2*sin(x×pi)dx
Expresiones con funciones
Seno sin
sin^2(9x)
sin^(2021)(x)
sin^14(5t)cos(5t)
sin15x
sin(x^2(tg(x)))

Integral de x^2*sin(x×pi) dx

Solución

Ha introducido [src]

 pi                
  /                
 |                 
 |   2             
 |  x *sin(x*pi) dx
 |                 
/                  
0

$$\int\limits_{0}^{\pi} x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}\, dx$$

Integral(x^2*sin(x*pi), (x, 0, pi))

Solución detallada

Usamos la integración por partes:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

que $u{\left(x \right)} = x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}$ .

Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$ .

Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
1. que $u = \pi x$ .
  
  Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$ :
  
  $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$
    1. La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$
Ahora resolvemos podintegral.
Usamos la integración por partes:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

que $u{\left(x \right)} = - \frac{2 x}{\pi}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}$ .

Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{2}{\pi}$ .

Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
1. que $u = \pi x$ .
  
  Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$ :
  
  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}$
    1. La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}$
Ahora resolvemos podintegral.
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

$\int \left(- \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}\right)\, dx = - \frac{2 \int \sin{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi^{2}}$
1. que $u = \pi x$ .
  
  Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$ :
  
  $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$
    1. La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$
Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}$
Ahora simplificar:

$\frac{- \pi^{2} x^{2} \cos{\left(\pi x \right)} + 2 \pi x \sin{\left(\pi x \right)} + 2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{- \pi^{2} x^{2} \cos{\left(\pi x \right)} + 2 \pi x \sin{\left(\pi x \right)} + 2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{- \pi^{2} x^{2} \cos{\left(\pi x \right)} + 2 \pi x \sin{\left(\pi x \right)} + 2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                                
 |                                      2                          
 |  2                    2*cos(pi*x)   x *cos(pi*x)   2*x*sin(pi*x)
 | x *sin(x*pi) dx = C + ----------- - ------------ + -------------
 |                             3            pi               2     
/                            pi                            pi

$$\int x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}\, dx = C - \frac{x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{2 x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} + \frac{2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

                           /  2\        /  2\
   2          /  2\   2*sin\pi /   2*cos\pi /
- --- - pi*cos\pi / + ---------- + ----------
    3                     pi            3    
  pi                                  pi

$$\frac{2 \sin{\left(\pi^{2} \right)}}{\pi} - \frac{2}{\pi^{3}} + \frac{2 \cos{\left(\pi^{2} \right)}}{\pi^{3}} - \pi \cos{\left(\pi^{2} \right)}$$

                           /  2\        /  2\
   2          /  2\   2*sin\pi /   2*cos\pi /
- --- - pi*cos\pi / + ---------- + ----------
    3                     pi            3    
  pi                                  pi

$$\frac{2 \sin{\left(\pi^{2} \right)}}{\pi} - \frac{2}{\pi^{3}} + \frac{2 \cos{\left(\pi^{2} \right)}}{\pi^{3}} - \pi \cos{\left(\pi^{2} \right)}$$

-2/pi^3 - pi*cos(pi^2) + 2*sin(pi^2)/pi + 2*cos(pi^2)/pi^3

Respuesta numérica [src]

2.43920239380403

2.43920239380403

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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Expresiones con funciones

Integral de x^2*sin(x×pi) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

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