Integral de cossqrtx/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int \frac{2 \cos{\left(u \right)}}{u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{u}\, du = 2 \int \frac{\cos{\left(u \right)}}{u}\, du$

         CiRule(a=1, b=0, context=cos(_u)/_u, symbol=_u)

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \operatorname{Ci}{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \operatorname{Ci}{\left(\sqrt{x} \right)}$

   Método #2

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{\cos{\left(\sqrt{\frac{1}{u}} \right)}}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\cos{\left(\sqrt{\frac{1}{u}} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\cos{\left(\sqrt{\frac{1}{u}} \right)}}{u}\, du$

         1. que $u = \sqrt{\frac{1}{u}}$.

            Luego que $du = - \frac{\sqrt{\frac{1}{u}} du}{2 u}$ y ponemos $- 2 du$:

            $\int \left(- \frac{2 \cos{\left(u \right)}}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{u}\, du = - 2 \int \frac{\cos{\left(u \right)}}{u}\, du$

               CiRule(a=1, b=0, context=cos(_u)/_u, symbol=_u)

               Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \operatorname{Ci}{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- 2 \operatorname{Ci}{\left(\sqrt{\frac{1}{u}} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \operatorname{Ci}{\left(\sqrt{\frac{1}{u}} \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \operatorname{Ci}{\left(\sqrt{x} \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 \operatorname{Ci}{\left(\sqrt{x} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \operatorname{Ci}{\left(\sqrt{x} \right)}+ \mathrm{constant}$