Integral de (x-1/x^2)^2/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{u^{6} - 2 u^{3} + 1}{u^{3}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{6} - 2 u^{3} + 1}{u^{3}}\, du = - \int \frac{u^{6} - 2 u^{3} + 1}{u^{3}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{6} - 2 u^{3} + 1}{u^{3}} = u^{3} - 2 + \frac{1}{u^{3}}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(-2\right)\, du = - 2 u$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            El resultado es: $\frac{u^{4}}{4} - 2 u - \frac{1}{2 u^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{4} + 2 u + \frac{1}{2 u^{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{2}}{2} + \frac{2}{x} - \frac{1}{4 x^{4}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(x - \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}}{x} = x - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{5}}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{2}{x^{2}}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{x}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{5}}\, dx = - \frac{1}{4 x^{4}}$

      El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} + \frac{2}{x} - \frac{1}{4 x^{4}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(x - \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}}{x} = \frac{x^{6} - 2 x^{3} + 1}{x^{5}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{6} - 2 x^{3} + 1}{x^{5}} = x - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{5}}$

   3. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{2}{x^{2}}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{x}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{5}}\, dx = - \frac{1}{4 x^{4}}$

      El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} + \frac{2}{x} - \frac{1}{4 x^{4}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2}}{2} + \frac{2}{x} - \frac{1}{4 x^{4}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{2}{x} - \frac{1}{4 x^{4}}+ \mathrm{constant}$