Integral de 4*x+1-2^(3*x-1) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 2^{3 x - 1}\right)\, dx = - \int 2^{3 x - 1}\, dx$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = 3 x - 1$.

            Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{2^{u}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2^{u}\, du = \frac{\int 2^{u}\, du}{3}$

               1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

                  $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2^{u}}{3 \log{\left(2 \right)}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{2^{3 x - 1}}{3 \log{\left(2 \right)}}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $2^{3 x - 1} = \frac{2^{3 x}}{2}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2^{3 x}}{2}\, dx = \frac{\int 2^{3 x}\, dx}{2}$

            1. que $u = 3 x$.

               Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{2^{u}}{3}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 2^{u}\, du = \frac{\int 2^{u}\, du}{3}$

                  1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

                     $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2^{u}}{3 \log{\left(2 \right)}}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{2^{3 x}}{3 \log{\left(2 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2^{3 x}}{6 \log{\left(2 \right)}}$

         Método #3

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $2^{3 x - 1} = \frac{2^{3 x}}{2}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2^{3 x}}{2}\, dx = \frac{\int 2^{3 x}\, dx}{2}$

            1. que $u = 3 x$.

               Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{2^{u}}{3}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 2^{u}\, du = \frac{\int 2^{u}\, du}{3}$

                  1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

                     $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2^{u}}{3 \log{\left(2 \right)}}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{2^{3 x}}{3 \log{\left(2 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2^{3 x}}{6 \log{\left(2 \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2^{3 x - 1}}{3 \log{\left(2 \right)}}$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 x\, dx = 4 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      El resultado es: $2 x^{2} + x$

   El resultado es: $- \frac{2^{3 x - 1}}{3 \log{\left(2 \right)}} + 2 x^{2} + x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{- 2^{3 x} + x \left(2 x + 1\right) \log{\left(64 \right)}}{6 \log{\left(2 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{- 2^{3 x} + x \left(2 x + 1\right) \log{\left(64 \right)}}{6 \log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{- 2^{3 x} + x \left(2 x + 1\right) \log{\left(64 \right)}}{6 \log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$