Integral de x(x^2-1)^4 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{2} - 1$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{4}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{4}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{5}}{10}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(x^{2} - 1\right)^{5}}{10}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \left(x^{2} - 1\right)^{4} = x^{9} - 4 x^{7} + 6 x^{5} - 4 x^{3} + x$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 4 x^{7}\right)\, dx = - 4 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{8}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6 x^{5}\, dx = 6 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 4 x^{3}\right)\, dx = - 4 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- x^{4}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      El resultado es: $\frac{x^{10}}{10} - \frac{x^{8}}{2} + x^{6} - x^{4} + \frac{x^{2}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x^{2} - 1\right)^{5}}{10}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{2} - 1\right)^{5}}{10}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{2} - 1\right)^{5}}{10}+ \mathrm{constant}$