Integral de (5+x)arccosx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x + 5\right) \operatorname{acos}{\left(x \right)} = x \operatorname{acos}{\left(x \right)} + 5 \operatorname{acos}{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x^{2}}{2 \sqrt{1 - x^{2}}}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}\, dx}{2}$

         TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=sin(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=1/2 - cos(2*_theta)/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta), ConstantTimesRule(constant=-1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=-cos(2*_theta)/2, symbol=_theta)], context=1/2 - cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), context=sin(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(x > -1) & (x < 1), context=x**2/sqrt(1 - x**2), symbol=x)

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\begin{cases} - \frac{x \sqrt{1 - x^{2}}}{2} + \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5 \operatorname{acos}{\left(x \right)}\, dx = 5 \int \operatorname{acos}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\, dx$

            1. que $u = 1 - x^{2}$.

               Luego que $du = - 2 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

               $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \sqrt{1 - x^{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{1 - x^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $5 x \operatorname{acos}{\left(x \right)} - 5 \sqrt{1 - x^{2}}$

      El resultado es: $\frac{x^{2} \operatorname{acos}{\left(x \right)}}{2} + 5 x \operatorname{acos}{\left(x \right)} - 5 \sqrt{1 - x^{2}} + \frac{\begin{cases} - \frac{x \sqrt{1 - x^{2}}}{2} + \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}}{2}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x + 5$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 5\, dx = 5 x$

         El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} + 5 x$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{\frac{x^{2}}{2} + 5 x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{\frac{x^{2}}{2} + 5 x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{\frac{x^{2}}{2} + 5 x}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{x^{2} + 10 x}{2 \sqrt{1 - x^{2}}}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{2} + 10 x}{2 \sqrt{1 - x^{2}}}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2} + 10 x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\, dx}{2}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x^{2} + 10 x}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{10 x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

         2. Integramos término a término:

            TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=sin(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=1/2 - cos(2*_theta)/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta), ConstantTimesRule(constant=-1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=-cos(2*_theta)/2, symbol=_theta)], context=1/2 - cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), context=sin(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(x > -1) & (x < 1), context=x**2/sqrt(1 - x**2), symbol=x)

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{10 x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\, dx = 10 \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\, dx$

               1. que $u = 1 - x^{2}$.

                  Luego que $du = - 2 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

                  $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \sqrt{1 - x^{2}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 10 \sqrt{1 - x^{2}}$

            El resultado es: $- 10 \sqrt{1 - x^{2}} + \begin{cases} - \frac{x \sqrt{1 - x^{2}}}{2} + \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 5 \sqrt{1 - x^{2}} + \frac{\begin{cases} - \frac{x \sqrt{1 - x^{2}}}{2} + \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $5 \sqrt{1 - x^{2}} - \frac{\begin{cases} - \frac{x \sqrt{1 - x^{2}}}{2} + \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}}{2}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x + 5\right) \operatorname{acos}{\left(x \right)} = x \operatorname{acos}{\left(x \right)} + 5 \operatorname{acos}{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x^{2}}{2 \sqrt{1 - x^{2}}}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}\, dx}{2}$

         TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=sin(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=1/2 - cos(2*_theta)/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta), ConstantTimesRule(constant=-1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=-cos(2*_theta)/2, symbol=_theta)], context=1/2 - cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), context=sin(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(x > -1) & (x < 1), context=x**2/sqrt(1 - x**2), symbol=x)

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\begin{cases} - \frac{x \sqrt{1 - x^{2}}}{2} + \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5 \operatorname{acos}{\left(x \right)}\, dx = 5 \int \operatorname{acos}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\, dx$

            1. que $u = 1 - x^{2}$.

               Luego que $du = - 2 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

               $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \sqrt{1 - x^{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{1 - x^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $5 x \operatorname{acos}{\left(x \right)} - 5 \sqrt{1 - x^{2}}$

      El resultado es: $\frac{x^{2} \operatorname{acos}{\left(x \right)}}{2} + 5 x \operatorname{acos}{\left(x \right)} - 5 \sqrt{1 - x^{2}} + \frac{\begin{cases} - \frac{x \sqrt{1 - x^{2}}}{2} + \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\begin{cases} \frac{x^{2} \operatorname{acos}{\left(x \right)}}{2} - \frac{x \sqrt{1 - x^{2}}}{4} + 5 x \operatorname{acos}{\left(x \right)} - 5 \sqrt{1 - x^{2}} + \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{4} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\begin{cases} \frac{x^{2} \operatorname{acos}{\left(x \right)}}{2} - \frac{x \sqrt{1 - x^{2}}}{4} + 5 x \operatorname{acos}{\left(x \right)} - 5 \sqrt{1 - x^{2}} + \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{4} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} \frac{x^{2} \operatorname{acos}{\left(x \right)}}{2} - \frac{x \sqrt{1 - x^{2}}}{4} + 5 x \operatorname{acos}{\left(x \right)} - 5 \sqrt{1 - x^{2}} + \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{4} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$